Les Fonctions de Référence

1. La fonction carré

1.1 Définition

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^2$

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1.2 Propriétés

• Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
• Images toujours positives : $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
• $f(0) = 0$ (minimum)
• $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ → la fonction carré est paire

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1.3 Variations

• Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$
• Croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
• Minimum : $f(0) = 0$

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1.4 Courbe représentative

La courbe de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine $O(0\,;\,0)$.

Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (conséquence de la parité).

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🎯 Comparaison d'images : pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ avec la fonction carré, il faut tenir compte des signes de $a$ et $b$.

• Si $0 \leqslant a < b$, alors $a^2 < b^2$ (croissante sur $\mathbb{R}^+$)
• Si $a < b \leqslant 0$, alors $a^2 > b^2$ (décroissante sur $\mathbb{R}^-$)
• Si $a < 0 < b$, on compare $|a|$ et $|b|$ : c'est le plus grand en valeur absolue qui a la plus grande image.

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1.5 Résolution d'équations et inéquations

Équation $x^2 = k$ :

• Si $k < 0$ : aucune solution (un carré est toujours $\geqslant 0$)
• Si $k = 0$ : une solution, $x = 0$
• Si $k > 0$ : deux solutions, $x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$

Inéquation $x^2 < k$ (avec $k > 0$) :

$x^2 < k \iff -\sqrt{k} < x < \sqrt{k} \iff x \in ]-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}[$

Exemple : $x^2 \leqslant 9 \iff -3 \leqslant x \leqslant 3 \iff x \in [-3\,;\,3]$.

2. La fonction inverse

2.1 Définition

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ par :

$f(x) = \frac{1}{x}$

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⚠️ Attention : la fonction inverse n'est pas définie en $0$ (on ne divise jamais par zéro !).

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2.2 Propriétés

• Signe : $\frac{1}{x}$ est du même signe que $x$
• $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$ → la fonction inverse est impaire

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2.3 Variations

• Décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$
• Décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$

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⚠️ On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier. Les deux intervalles sont séparés par $0$ où la fonction n'est pas définie.

Par exemple, $-1 < 2$ mais $\frac{1}{-1} = -1 < \frac{1}{2}$... ce qui donnerait l'impression qu'elle est croissante !

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2.4 Courbe représentative

La courbe de la fonction inverse est une hyperbole composée de deux branches :

• une branche dans le quadrant I ($x > 0$, $y > 0$)
• une branche dans le quadrant III ($x < 0$, $y < 0$)

La courbe est symétrique par rapport à l'origine (conséquence de l'imparité).

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2.5 Résolution d'équations et inéquations

Équation $\frac{1}{x} = k$ (avec $k \neq 0$) : $x = \frac{1}{k}$.

Inéquation $\frac{1}{x} > k$ : attention, le résultat dépend du signe de $x$ ! Il faut étudier séparément $x > 0$ et $x < 0$.

Exemple : Résoudre $\frac{1}{x} \geqslant 2$.

• Si $x > 0$ : $\frac{1}{x} \geqslant 2 \iff 1 \geqslant 2x \iff x \leqslant \frac{1}{2}$. Avec $x > 0$ : $x \in \left]0\,;\,\frac{1}{2}\right]$.
• Si $x < 0$ : $\frac{1}{x} < 0 < 2$ → pas de solution.

Ensemble des solutions : $S = \left]0\,;\,\frac{1}{2}\right]$.

3. La fonction racine carrée

3.1 Définition

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :

$f(x) = \sqrt{x}$

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⚠️ Attention : $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geqslant 0$.

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3.2 Variations

• Strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
• La croissance est de plus en plus lente (la courbe « s'aplatit »)

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3.3 Courbe représentative

La courbe part de l'origine et monte de plus en plus lentement. Elle est en forme de « demi-parabole couchée ».

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3.4 Comparaison et résolution

Comme $\sqrt{x}$ est croissante : si $0 \leqslant a < b$, alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Équation $\sqrt{x} = k$ : si $k \geqslant 0$, $x = k^2$ ; si $k < 0$, pas de solution.

Inéquation $\sqrt{x} \leqslant k$ (avec $k \geqslant 0$) : $0 \leqslant x \leqslant k^2$, soit $x \in [0\,;\,k^2]$.

4. La fonction cube

4.1 Définition

La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^3$

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4.2 Propriétés

• Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
• $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ → la fonction cube est impaire
• $x^3$ est du même signe que $x$

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4.3 Variations

• Strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier

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4.4 Courbe représentative

La courbe passe par l'origine et est symétrique par rapport à l'origine (imparité). Elle a une forme en « S ».

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4.5 Comparaison et résolution

Comme $x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : $a < b \iff a^3 < b^3$.

Équation $x^3 = k$ : pour tout réel $k$, il y a une unique solution.

Exemple : $x^3 = 8 \iff x = 2$ ; $x^3 = -27 \iff x = -3$.

5. Tableau récapitulatif

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📌 À retenir

1. Fonction carré : décroissante puis croissante — parabole — minimum en $0$.
2. Fonction inverse : décroissante sur chaque intervalle — jamais définie en $0$ — hyperbole.
3. Fonction racine carrée : croissante — définie uniquement pour $x \geqslant 0$.
4. Fonction cube : croissante sur $\mathbb{R}$ — courbe en « S ».
5. Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$, on utilise les variations : si $f$ est croissante et $a < b$, alors $f(a) < f(b)$.
6. Pour résoudre $f(x) = k$ ou $f(x) < k$, on s'appuie sur la courbe ou sur les propriétés algébriques de chaque fonction.