Les fonctions de référence

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Fiche de révision

Fonction	Notation	Ensemble de définition	Courbe
Carré	$f(x) = x^2$	$\mathbb{R}$ (tous les réels)	Parabole, sommet en $O$
Inverse	$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ( $x \neq 0$ )	Hyperbole (deux branches)
Racine carrée	$f(x) = \sqrt{x}$	$[0\,;+\infty[$ ( $x \geqslant 0$ )	Demi-courbe croissante
Cube	$f(x) = x^3$	$\mathbb{R}$	Courbe en « S » passant par $O$

⚡ Valeurs utiles : $0^2=0$ , $1^2=1$ , $\sqrt{0}=0$ , $\sqrt{1}=1$ , $\sqrt{4}=2$ , $\sqrt{9}=3$

Vérifier que $a$ et $b$ sont dans le domaine de définition.
Identifier l'intervalle où se trouvent $a$ et $b$ .
Déterminer si $f$ est croissante ou décroissante sur cet intervalle.
Conclure :
- $f$ croissante et $a < b$ $\Rightarrow$ $f(a) < f(b)$
- $f$ décroissante et $a < b$ $\Rightarrow$ $f(a) > f(b)$

⚠️ Pour $x^2$ : si $a$ et $b$ ne sont pas du même côté de 0, on ne peut pas conclure directement avec les variations → calculer.

Équation / Inéquation	Méthode algébrique
$x^2 = k$	Si $k<0$ : aucune solution. Si $k=0$ : $x=0$ . Si $k>0$ : $x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$
$x^2 < k$	Si $k \leqslant 0$ : aucune solution. Si $k>0$ : $-\sqrt{k} < x < \sqrt{k}$
$\sqrt{x} = k$	Si $k<0$ : aucune solution. Si $k \geqslant 0$ : $x = k^2$
$\sqrt{x} < k$	Si $k \leqslant 0$ : aucune solution. Si $k > 0$ : $0 \leqslant x < k^2$
$\dfrac{1}{x} = k$	$k \neq 0$ : $x = \dfrac{1}{k}$
$x^3 = k$	Unique solution : $x = \sqrt[3]{k}$ (pour tout $k$ )

Graphiquement : tracer la droite $y = k$ et lire les abscisses des points d'intersection.

$\sqrt{x}$ n'existe pas pour $x < 0$ → toujours vérifier le domaine.
$x^2 = 9$ donne $x = 3$ ou $x = -3$ , pas seulement $3$ !
Pour comparer avec $x^2$ : si $a$ et $b$ sont de signes différents, les variations seules ne suffisent pas.
$\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ séparément → on ne compare jamais un négatif et un positif via les variations.

Connaître par cœur l'allure des 4 courbes et leurs tableaux de variations.
Le sens de variation est l'outil principal pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ .
$x^2 = k$ → deux solutions opposées quand $k > 0$ .
Toujours vérifier le domaine de définition avant de résoudre.
Graphiquement : $f(x) = k$ se lit à l'intersection de la courbe et de la droite horizontale $y = k$ .

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