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Les fractions — Cours Mathématiques 6ème | KlarIA

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Les fractions

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Cours

Les Fractions

1. La fraction : un quotient

Définition

Une fraction $\frac{a}{b}$ représente le résultat de la division de $a$ par $b$ (avec $b \neq 0$ ). Le nombre $a$ s'appelle le numérateur, $b$ le dénominateur.

Écrire $\frac{7}{4}$ , c'est écrire $7 \div 4 = 1{,}75$

Égalités à trous multiplicatives

La fraction est liée à la multiplication : si $\frac{a}{b} = q$ , alors $a = b \times q$ .

Exemple : $\frac{15}{3} = 5$ car $3 \times 5 = 15$ . Quel nombre multiplié par $4$ donne $9$ ? C'est $\frac{9}{4}$ .

Placement sur une demi-droite graduée

Pour placer $\frac{3}{5}$ sur une demi-droite graduée, on divise le segment $[0\,;\,1]$ en $5$ parts égales, puis on avance de $3$ parts.

📏 Placer $\frac{3}{5}$ sur une demi-droite graduée

📐 On découpe $[0\,;\,1]$ en 5 parts → on se place à la 3ᵉ graduation

2. Fraction d'une quantité (opérateur multiplicatif)

Prendre $\frac{a}{b}$ d'un nombre $n$ , c'est calculer $\frac{a}{b} \times n = \frac{a \times n}{b}$ .

Exemple résolu pas à pas : Calculer $\frac{3}{4}$ de $60$ .

Étape 1 → On divise par le dénominateur : $60 \div 4 = 15$ Étape 2 → On multiplie par le numérateur : $15 \times 3 = 45$ Résultat : $\frac{3}{4}$ de $60 = 45$ ✅

3. Égalités de fractions et comparaison

Fractions égales

Deux fractions sont égales si on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$

Comparaison et encadrement

Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur.

Exemple : Comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$ .

Étape 1 → Dénominateur commun : $4 \times 6 = 24$ (ou $12$ , plus simple) Étape 2 → $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ et $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ Étape 3 → $9 < 10$ donc $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ ✅

Nombres mixtes

Un nombre mixte mélange un entier et une fraction : $2\frac{1}{3}$ signifie $2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Pour encadrer : $\frac{7}{3} = 2{,}33...$ donc $2 < \frac{7}{3} < 3$ .

4. Opérations avec les fractions

Opération	Règle (LaTeX)	Exemple
Addition (même dénominateur)	$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$	$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$
Soustraction (même dénominateur)	$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$	$\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Addition (dénominateurs différents)	Mettre au même dénominateur d'abord	$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
Multiplication par un entier	$n \times \frac{a}{b} = \frac{n \times a}{b}$	$3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$

⚠️ On n'additionne jamais les dénominateurs !

Exemple complet résolu

Calculer $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$ .

Étape 1 → Trouver un dénominateur commun : $6$ convient car $3 \times 2 = 6$ Étape 2 → Transformer : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$ Étape 3 → Additionner : $\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6}$ Étape 4 → Simplifier : $\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ ✅

5. Les pourcentages

Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$ .

🔄 Du pourcentage au calcul :

$\text{Pourcentage} \longrightarrow \text{Fraction} \longrightarrow \text{Calcul}$

$30\% \text{ de } 200 \longrightarrow \frac{30}{100} \times 200 \longrightarrow \frac{6000}{100} = 60$

Pourcentage	Fraction	Signification
$50\%$	$\frac{1}{2}$	La moitié
$25\%$	$\frac{1}{4}$	Le quart
$10\%$	$\frac{1}{10}$	Un dixième
$75\%$	$\frac{3}{4}$	Trois quarts

Exemple : Dans une classe de $30$ élèves, $40\%$ sont des filles. Nombre de filles : $\frac{40}{100} \times 30 = \frac{1200}{100} = 12$ filles.

6. Résoudre un problème avec les fractions

Méthode :

Lire → repérer les données et la question
Traduire → écrire la fraction ou l'opération correspondante
Calculer → appliquer les règles ci-dessus
Vérifier → le résultat est-il cohérent ?

Problème : Un réservoir de $45$ L est rempli aux $\frac{2}{5}$ . Quelle quantité d'eau contient-il ?

$\frac{2}{5}$ de $45 = 45 \div 5 \times 2 = 9 \times 2 = 18$ L ✅

📌 À retenir

$\frac{a}{b}$ est le résultat de la division $a \div b$ ; on a $a = b \times \frac{a}{b}$
Pour additionner ou soustraire, il faut le même dénominateur ; on additionne alors les numérateurs
On obtient des fractions égales en multipliant (ou divisant) haut et bas par le même nombre : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$
Prendre une fraction d'un nombre = diviser par le dénominateur, puis multiplier par le numérateur
Un pourcentage est une fraction sur $100$ : $p\%$ de $N = \frac{p}{100} \times N$

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