Géométrie dans l'espace

Ce chapitre introduit la sphère et la boule, étudie les sections de solides et donne la formule du volume de la boule.

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1. Sphère et boule

1.1 Définitions

💡 La sphère est à la boule ce que le cercle est au disque : la sphère est « l'enveloppe », la boule est « l'intérieur ».

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1.2 Vocabulaire

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1.3 Les grands cercles

Un grand cercle a le même centre et le même rayon que la sphère. Il partage la sphère en deux demi-sphères égales.

Exemples sur la Terre 🌍 :

• L'équateur est un grand cercle.
• Les méridiens sont des grands cercles.

Tout cercle tracé sur la sphère qui ne passe pas par le centre est un cercle plus petit qu'un grand cercle (exemple : les parallèles terrestres autres que l'équateur).

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2. Sections de solides

2.1 Qu'est-ce qu'une section ?

Une section est la figure obtenue quand on coupe un solide par un plan. Imagine que tu tranches un objet avec une lame : la forme du « tranchage » est la section.

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2.2 Sections à connaître

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2.3 Section d'une boule — détail

Toute section d'une boule par un plan est un disque. Plus le plan est proche du centre, plus le disque est grand. Quand le plan passe exactement par le centre, on obtient le plus grand disque possible : le grand cercle (rayon $= r$).

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2.4 Section d'une pyramide parallèlement à la base

Quand on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, on obtient une figure de même forme que la base, mais réduite. Le coefficient de réduction dépend de la hauteur de coupe.

Si le plan coupe la pyramide à une fraction $\dfrac{h'}{h}$ de la hauteur (en partant du sommet) :

• Les longueurs de la section sont multipliées par $k = \dfrac{h'}{h}$.
• L'aire de la section est multipliée par $k^2 = \left(\dfrac{h'}{h}\right)^2$.

Exemple : Une pyramide de hauteur $12$ cm a une base carrée de côté $6$ cm. On la coupe à $4$ cm du sommet (soit $\dfrac{1}{3}$ de la hauteur). La section est un carré de côté $6 \times \dfrac{1}{3} = 2$ cm.

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3. Volume de la boule

3.1 Formule

$\boxed{V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3}$

⚠️ Deux pièges classiques :

• C'est $r$ au cube (pas au carré !) — le carré, c'est pour l'aire du disque.
• Ne pas oublier le coefficient $\dfrac{4}{3}$.

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3.2 Exemple résolu pas à pas

Calculer le volume d'une boule de rayon $r = 6$ cm.

Étape 1 → Écrire la formule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$

Étape 2 → Remplacer $r$ par $6$ : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3$

Étape 3 → Calculer $6^3 = 216$ : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 216$

Étape 4 → Calculer $\dfrac{4 \times 216}{3} = \dfrac{864}{3} = 288$ : $V = 288\pi$

Étape 5 → Valeur approchée : $V \approx 288 \times 3{,}14 \approx 904{,}8$ cm³

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3.3 Retrouver le rayon à partir du volume

Parfois on connaît le volume et on cherche le rayon. On isole $r$ dans la formule :

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{3V}{4\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

Exemple : Une boule a un volume de $36\pi$ cm³. Quel est son rayon ?

$r^3 = \frac{3 \times 36\pi}{4\pi} = \frac{108\pi}{4\pi} = 27 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm}$

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4. Rappels : volumes des autres solides

Ces formules sont des automatismes à maîtriser (vues en 4ème) :

💡 Moyen mnémotechnique : la pyramide et le cône sont le tiers du prisme/cylindre correspondant (même base, même hauteur).

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5. Résoudre des problèmes

Exemple 1 — Solide composé

Un silo à grain a la forme d'un cylindre de rayon $3$ m et de hauteur $8$ m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur $2$ m. Calculer son volume total.

$V_{\text{cylindre}} = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi$

$V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 2 = 6\pi$

$V_{\text{total}} = 72\pi + 6\pi = 78\pi \approx 245 \text{ m}^3$

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Exemple 2 — Comparer des volumes

Quel est le plus volumineux : un cube de côté $10$ cm ou une boule de rayon $6$ cm ?

$V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$

$V_{\text{boule}} = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = 288\pi \approx 904{,}8 \text{ cm}^3$

Le cube est plus volumineux ($1\,000 > 904{,}8$).

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Exemple 3 — La Terre

La Terre a un rayon d'environ $6\,371$ km. Calculer son volume en notation scientifique.

$V = \frac{4}{3}\pi \times (6\,371)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 2{,}586 \times 10^{11} \approx 1{,}083 \times 10^{12} \text{ km}^3$

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📌 À retenir

1. Sphère = surface (points à distance $r$ de $O$). Boule = volume plein (points à distance $\leqslant r$ de $O$). Analogie : cercle/disque.

2. Grand cercle : même centre et même rayon que la sphère. Partage la sphère en deux demi-sphères.

3. Sections : pavé // à une face → rectangle ; cylindre ⊥ axe → disque ; boule → disque (grand cercle si le plan passe par $O$) ; pyramide // à la base → figure réduite.

4. Volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$. Attention : $r$ au cube, coefficient $\dfrac{4}{3}$.

5. Pyramide et cône : volume $= \dfrac{1}{3}$ du prisme/cylindre correspondant.

6. Savoir isoler $r$ à partir du volume : $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.