Géométrie repérée

En seconde, tu as appris à décrire une droite par une équation dans un repère : $y = mx + p$ ou $ax + by + c = 0$. Le produit scalaire du chapitre précédent enrichit cette géométrie « avec des coordonnées » de tout ce qui touche à l'orthogonalité : vecteur normal à une droite, projeté orthogonal d'un point, et surtout équation d'un cercle, qui est l'ensemble des points à une distance fixée d'un centre.

Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})$ : c'est indispensable pour utiliser $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.

1. Rappels : équations de droites

Une droite $d$ admet une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$. Le vecteur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ est un vecteur directeur de $d$.

Si $b \neq 0$, la droite n'est pas verticale et admet une équation réduite $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur ; un vecteur directeur est alors $(1\,;\,m)$.

Exemple : $d : 2x - y + 3 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(1\,;\,2)$ et pour équation réduite $y = 2x + 3$.

2. Vecteur normal à une droite

2.1 Définition et théorème

Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$.

$\boxed{\text{Le vecteur } \vec{n}(a\,;\,b) \text{ est normal à la droite d'équation } ax + by + c = 0.}$

Démonstration. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;\,a)$, et $\vec{n} \cdot \vec{u} = a \times (-b) + b \times a = 0$. Donc $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{u}$.

Les coefficients de $x$ et de $y$ se lisent donc directement comme un vecteur normal. Pour $d : 2x - y + 3 = 0$, $\vec{n}(2\,;\,-1)$ est normal.

2.2 Équation d'une droite définie par un point et un vecteur normal

Soit $A(x_A\,;\,y_A)$ un point et $\vec{n}(a\,;\,b)$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}$ :

$M(x\,;\,y) \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$

Exemple : droite passant par $A(2\,;\,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3\,;\,4)$ : $3(x - 2) + 4(y + 1) = 0$, soit $3x + 4y - 2 = 0$. Vérification : $3 \times 2 + 4 \times (-1) - 2 = 0$.

2.3 Droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ce qui revient à dire qu'un vecteur normal de l'une est un vecteur directeur de l'autre.

Exemple : la perpendiculaire à $d : 2x - y + 3 = 0$ passant par $B(1\,;\,5)$ a pour vecteur normal un vecteur directeur de $d$, c'est-à-dire $\vec{u}(1\,;\,2)$. Son équation est $1(x - 1) + 2(y - 5) = 0$, soit $x + 2y - 11 = 0$.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires : $3x + y - 1 = 0$ et $6x + 2y + 5 = 0$ sont parallèles.

3. Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH) \perp d$ (ou $H = M$ si $M \in d$). C'est le point de $d$ le plus proche de $M$, et $MH$ est la distance de $M$ à $d$.

Méthode. $H$ est l'intersection de $d$ et de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$. Cette perpendiculaire a pour vecteur directeur un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$ : ses points s'écrivent $M + t\,\vec{n}$, et l'on cherche $t$ pour que le point soit sur $d$.

Exemple : $d : x + y - 4 = 0$ et $M(6\,;\,2)$. Vecteur normal $\vec{n}(1\,;\,1)$. Les points de la perpendiculaire sont $(6 + t\,;\,2 + t)$. Sur $d$ : $(6 + t) + (2 + t) - 4 = 0$, soit $2t + 4 = 0$, $t = -2$. Donc $H(4\,;\,0)$.

Vérification : $H \in d$ car $4 + 0 - 4 = 0$, et $\overrightarrow{MH}(-2\,;\,-2)$ est bien colinéaire à $\vec{n}$. Distance de $M$ à $d$ : $MH = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$.

Le symétrique de $M$ par rapport à $d$ s'obtient en poursuivant : $M' = M + 2t\,\vec{n} = (2\,;\,-2)$.

4. Équation d'un cercle

4.1 Cercle défini par son centre et son rayon

Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\Omega M = r$. Comme $\Omega M^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2$ :

$\boxed{M(x\,;\,y) \in \mathcal{C} \iff (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}$

Exemple : le cercle de centre $\Omega(2\,;\,-3)$ et de rayon $4$ a pour équation $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. En développant : $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$.

4.2 Reconnaître une équation de cercle

Réciproquement, une équation de la forme $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ peut être celle d'un cercle. Pour le savoir, on complète les carrés (méthode du chapitre sur le second degré) pour revenir à la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$ :

• si $k > 0$ : cercle de centre $(a\,;\,b)$ et de rayon $\sqrt{k}$ ;
• si $k = 0$ : le seul point $(a\,;\,b)$ ;
• si $k < 0$ : aucun point (une somme de carrés ne peut pas être négative).

Exemple : $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$. On regroupe : $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3$, puis $(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 3$, soit $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ : cercle de centre $(2\,;\,-3)$ et de rayon $4$.

Exemple : $x^2 + y^2 + 2x + 5 = 0$ donne $(x + 1)^2 + y^2 = -4$ : ensemble vide.

Exemple : $x^2 + y^2 - 6x = 0$ donne $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ : cercle de centre $(3\,;\,0)$ et de rayon $3$, qui passe par l'origine.

4.3 Cercle de diamètre $[AB]$

D'après le chapitre précédent, $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$. Avec les coordonnées, cela donne directement une équation :

$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$

Exemple : $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,4)$ : $(x + 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$, soit $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$, ou encore $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$. Le centre $(1\,;\,3)$ est bien le milieu de $[AB]$ et $r^2 = 5 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$ puisque $AB^2 = 16 + 4 = 20$.

5. Intersection d'un cercle et d'une droite parallèle à un axe

Pour trouver les points d'un cercle d'abscisse donnée $x = k$, on remplace $x$ par $k$ dans l'équation et l'on résout l'équation du second degré en $y$ obtenue. Même chose avec $y = k$.

Exemple : cercle $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ et droite $x = 2$ : $(y + 3)^2 = 16$, donc $y + 3 = 4$ ou $y + 3 = -4$ : deux points, $(2\,;\,1)$ et $(2\,;\,-7)$ (les extrémités du diamètre vertical).

Avec la droite $x = 7$ : $25 + (y + 3)^2 = 16$, impossible : la droite ne coupe pas le cercle. Avec $x = 6$ : $16 + (y + 3)^2 = 16$, donc $y = -3$ : un seul point, la droite est tangente au cercle.

La même méthode donne l'intersection d'une parabole $y = ax^2 + bx + c$ avec une droite $x = k$ (un seul point, $(k\,;\,f(k))$) ou $y = k$ (résolution de $ax^2 + bx + c = k$).

6. Utiliser un repère pour démontrer

Placer un repère bien choisi transforme un problème de géométrie en calculs. On prend un sommet pour origine et des côtés pour axes, avec une unité adaptée.

Exemple : $ABCD$ est un carré, $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ le milieu de $[CD]$. Montrer que $(AI) \perp (BJ)$.

Dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD})$, orthonormé puisque $ABCD$ est un carré de côté $1$ : $A(0\,;\,0)$, $B(1\,;\,0)$, $C(1\,;\,1)$, $D(0\,;\,1)$, $I\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$, $J\left(\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$.

$\overrightarrow{AI}\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$ et $\overrightarrow{BJ}\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$, donc $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BJ} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$ : les droites sont perpendiculaires.

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,1)$, $B(7\,;\,3)$ et $C(3\,;\,7)$.

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
2. Déterminer une équation de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
3. Calculer les coordonnées du pied $H$ de cette hauteur.
4. Le point $C$ appartient-il au cercle de diamètre $[AB]$ ?

Résolution.

1. $\overrightarrow{AB}(6\,;\,2)$ dirige $(AB)$ ; un vecteur normal est donc $\vec{n}(1\,;\,-3)$ (car $6 \times 1 + 2 \times (-3) = 0$). Équation : $1(x - 1) - 3(y - 1) = 0$, soit $x - 3y + 2 = 0$. Vérification avec $B$ : $7 - 9 + 2 = 0$.

2. La hauteur issue de $C$ est perpendiculaire à $(AB)$ : elle a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}(6\,;\,2)$, ou plus simplement $(3\,;\,1)$. Elle passe par $C$ : $3(x - 3) + 1(y - 7) = 0$, soit $3x + y - 16 = 0$.

3. $H$ est l'intersection des deux droites. De la seconde, $y = 16 - 3x$ ; dans la première : $x - 3(16 - 3x) + 2 = 0$, soit $10x - 46 = 0$, $x = 4{,}6$, puis $y = 16 - 13{,}8 = 2{,}2$. Donc $H(4{,}6\,;\,2{,}2)$. Vérification : $4{,}6 - 6{,}6 + 2 = 0$.

4. $C$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$. Or $\overrightarrow{CA}(-2\,;\,-6)$ et $\overrightarrow{CB}(4\,;\,-4)$ : $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -8 + 24 = 16 \neq 0$. Donc $C$ n'est pas sur ce cercle, et le triangle n'est pas rectangle en $C$.

📌 À retenir

1. $\vec{n}(a\,;\,b)$ est normal à la droite $ax + by + c = 0$ ; $\vec{u}(-b\,;\,a)$ en est un vecteur directeur.
2. Droite par $A$ de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b)$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$. Perpendiculaires $\iff$ vecteurs normaux orthogonaux.
3. Projeté orthogonal de $M$ sur $d$ : point $M + t\,\vec{n}$ qui vérifie l'équation de $d$ ; $MH$ est la distance de $M$ à $d$.
4. Cercle de centre $(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Pour reconnaître un cercle, compléter les carrés ; le second membre doit être strictement positif.
5. Cercle de diamètre $[AB]$ : $(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$.
6. Intersection avec $x = k$ ou $y = k$ : remplacer et résoudre une équation du second degré ($0$, $1$ ou $2$ points).