📝 Fiche de révision — Géométrie repérée

Tout le chapitre se place dans un repère orthonormé.

---

📖 Définitions clés

---

📐 Formules essentielles

---

✅ Méthodes

Équation d'une droite par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b)$ : écrire $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$ et développer. Vérifier que $A$ satisfait l'équation.

Perpendiculaire à $d$ passant par $B$ : son vecteur normal est un vecteur directeur de $d$.

Projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ :

1. Lire un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$.
2. Écrire les points de la perpendiculaire : $(x_M + ta\,;\,y_M + tb)$.
3. Remplacer dans l'équation de $d$, résoudre en $t$.
4. Calculer $H$ ; vérifier que $H \in d$. Distance $MH = |t| \times \|\vec{n}\|$. Symétrique : $M + 2t\,\vec{n}$.

Équation d'un cercle connaissant centre et rayon : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ (ne pas oublier le carré du rayon, ni le changement de signe dans les parenthèses).

Reconnaître un cercle dans $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ :

1. Regrouper les termes en $x$ et en $y$.
2. Compléter les deux carrés.
3. Forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$ : cercle si $k > 0$ (rayon $\sqrt{k}$), un point si $k = 0$, rien si $k < 0$.

Intersection cercle / droite $x = k$ (ou $y = k$) : remplacer, résoudre l'équation du second degré : $0$, $1$ (tangente) ou $2$ points.

Démontrer avec un repère : choisir origine et axes sur la figure (sommet, côtés d'un carré ou d'un rectangle), calculer les coordonnées, conclure avec un produit scalaire ou des longueurs.

---

⚠️ Pièges à éviter

---

📌 À retenir

1. Vecteur normal $(a\,;\,b)$, vecteur directeur $(-b\,;\,a)$.
2. Droite par $A$ et normale à $\vec{n}$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
3. Projeté orthogonal : $M + t\,\vec{n}$ sur la droite.
4. Cercle : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ; compléter les carrés pour reconnaître.
5. Cercle de diamètre $[AB]$ : produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ en coordonnées.