Grandeurs et mesures

Ce chapitre applique les formules de volume à des problèmes concrets et travaille les conversions d'unités et les grandeurs composées (vitesse, débit, masse volumique).

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1. Conversions d'unités

1.1 Longueurs

Chaque passage d'une unité à la suivante multiplie ou divise par $10$.

Exemples :

• $1$ km $= 1\,000$ m $= 10^3$ m
• $1$ m $= 100$ cm $= 10^2$ cm
• $3{,}5$ m $= 350$ cm

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1.2 Aires

Pour les aires, on multiplie par le carré du facteur de conversion :

$1 \text{ m} = 10^2 \text{ cm} \quad \Rightarrow \quad 1 \text{ m}^2 = (10^2)^2 \text{ cm}^2 = 10^4 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$

💡 Astuce avec les puissances de 10 : pour convertir des aires, on met au carré le facteur de conversion des longueurs.

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1.3 Volumes et capacités

Pour les volumes, on multiplie par le cube du facteur de conversion :

$1 \text{ m} = 10^2 \text{ cm} \quad \Rightarrow \quad 1 \text{ m}^3 = (10^2)^3 \text{ cm}^3 = 10^6 \text{ cm}^3$

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Correspondance volumes / capacités

$\boxed{1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3} \qquad \boxed{1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3} \qquad \boxed{1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}}$

C'est la correspondance la plus importante à connaître. Elle permet de passer des unités de volume (cm³, m³) aux unités de capacité (mL, L).

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1.4 Tableau récapitulatif

1 m = 100 cm 1 m² = 10 000 cm² 1 m³ = 1 000 000 cm³

facteur = 10² facteur = (10²)² = 10⁴ facteur = (10²)³ = 10⁶

Longueurs : × k Aires : × k² Volumes : × k³ Même règle que pour les agrandissements-réductions !

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2. Grandeurs composées

2.1 Qu'est-ce qu'une grandeur composée ?

Une grandeur composée est le quotient (ou le produit) de deux grandeurs. On la reconnaît à son unité qui contient un « / » ou un « . ».

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2.2 La vitesse

$\boxed{v = \frac{d}{t}} \qquad \text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}$

Unités : km/h, m/s, m/min…

La formule se décline en trois versions :

Conversion km/h ↔ m/s :

$\boxed{1 \text{ km/h} = \frac{1\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = \frac{1}{3{,}6} \text{ m/s}}$

Pour convertir km/h → m/s : diviser par $3{,}6$. Pour convertir m/s → km/h : multiplier par $3{,}6$.

Exemple : $90$ km/h $= \dfrac{90}{3{,}6} = 25$ m/s.

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Exemple résolu

Un train roule à $160$ km/h. Combien de temps met-il pour parcourir $240$ km ?

$t = \frac{d}{v} = \frac{240}{160} = 1{,}5 \text{ h} = 1 \text{ h } 30 \text{ min}$

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2.3 Le débit

$\boxed{D = \frac{V}{t}} \qquad \text{débit} = \frac{\text{volume}}{\text{temps}}$

Unités : L/min, L/h, m³/h, m³/s…

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Exemple résolu

Un robinet a un débit de $12$ L/min. Combien de temps faut-il pour remplir une baignoire de $180$ L ?

$t = \frac{V}{D} = \frac{180}{12} = 15 \text{ min}$

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2.4 La masse volumique

$\boxed{\rho = \frac{m}{V}} \qquad \text{masse volumique} = \frac{\text{masse}}{\text{volume}}$

Unités : g/cm³, kg/m³, kg/L…

La masse volumique caractérise un matériau : elle indique la masse d'un centimètre cube (ou d'un litre, d'un mètre cube) de ce matériau.

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Exemple résolu

Une bille en aluminium a un rayon de $2$ cm. Quelle est sa masse ?

Étape 1 → Volume de la bille (boule) : $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}5$ cm³.

Étape 2 → Masse : $m = \rho \times V = 2{,}7 \times 33{,}5 \approx 90{,}5$ g.

💡 Ce problème combine géométrie (volume de la boule) et grandeurs composées (masse volumique) — c'est typique du brevet.

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3. Cohérence des unités

⚠️ Avant tout calcul avec des grandeurs composées, il faut vérifier que les unités sont cohérentes. Si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et le temps en heures.

Exemple de piège

Un cycliste roule à $20$ km/h pendant $45$ minutes. Quelle distance parcourt-il ?

⚠️ $45$ minutes ≠ $0{,}45$ h ! Il faut convertir : $45$ min $= \dfrac{45}{60}$ h $= 0{,}75$ h.

$d = v \times t = 20 \times 0{,}75 = 15 \text{ km}$

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Vérification par les ordres de grandeur

Toujours vérifier que le résultat est vraisemblable :

• Une voiture roule entre $50$ et $130$ km/h.
• Un humain marche à environ $5$ km/h.
• L'eau du robinet coule à environ $10$-$15$ L/min.
• La masse volumique de l'eau est $1$ kg/L (ou $1$ g/cm³).

Si votre résultat donne une voiture à $5\,000$ km/h ou une bille de $200$ kg, c'est qu'il y a une erreur d'unité !

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4. Problèmes combinés (type brevet)

Exemple 1 — Piscine

Une piscine a la forme d'un pavé droit de $10$ m × $5$ m × $1{,}5$ m. On la remplit avec un tuyau de débit $30$ L/min. Combien de temps faut-il pour la remplir ?

Étape 1 → Volume de la piscine : $V = 10 \times 5 \times 1{,}5 = 75 \text{ m}^3$

Étape 2 → Conversion en litres : $75$ m³ $= 75 \times 1\,000 = 75\,000$ L.

Étape 3 → Temps de remplissage : $t = \frac{V}{D} = \frac{75\,000}{30} = 2\,500 \text{ min} = 41 \text{ h } 40 \text{ min}$

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Exemple 2 — Planète

Mars a un rayon d'environ $3\,390$ km. Sa masse volumique moyenne est $3{,}93$ g/cm³. Estimer la masse de Mars.

Étape 1 → Volume : $V = \dfrac{4}{3}\pi \times (3{,}39 \times 10^8)^3 \approx 1{,}631 \times 10^{26}$ cm³.

Étape 2 → Masse : $m = 3{,}93 \times 1{,}631 \times 10^{26} \approx 6{,}41 \times 10^{26}$ g $\approx 6{,}41 \times 10^{23}$ kg.

💡 Ce problème utilise le volume de la boule, la notation scientifique et les grandeurs composées — trois chapitres en un !

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📌 À retenir

1. Conversions : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$ (même règle que l'agrandissement-réduction).

2. $1$ L $= 1$ dm³ et $1$ mL $= 1$ cm³ et $1$ m³ $= 1\,000$ L.

3. Vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$. Conversion : $1$ km/h $= \dfrac{1}{3{,}6}$ m/s.

4. Débit : $D = \dfrac{V}{t}$.

5. Masse volumique : $\rho = \dfrac{m}{V}$.

6. Chaque formule se décline en 3 versions (isoler chaque grandeur).

7. Toujours vérifier la cohérence des unités avant de calculer, et la vraisemblance du résultat après.