Information Chiffrée et Statistique Descriptive

1. Proportions et pourcentages

1.1 Proportion d'une sous-population

La proportion d'une sous-population $A$ dans une population totale $E$ est :

$p = \frac{\text{effectif de } A}{\text{effectif de } E}$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie par $100$.

Exemple : Dans une classe de $35$ élèves, $14$ sont des filles. La proportion de filles est $\frac{14}{35} = 0{,}4 = 40\%$.

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1.2 Pourcentage de pourcentage

Quand des ensembles sont inclus les uns dans les autres, on applique les pourcentages successivement.

Exemple résolu : Dans un lycée, $60\%$ des élèves font de l'anglais. Parmi ceux qui font de l'anglais, $25\%$ font aussi de l'espagnol. Quel pourcentage de l'ensemble des élèves fait anglais et espagnol ?

$0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15 = 15\%$

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⚠️ Attention : on ne peut pas additionner des pourcentages qui ne portent pas sur le même ensemble de référence. Il faut toujours se demander : « pourcentage de quoi ? »

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2. Évolutions

2.1 Variation absolue et variation relative

Quand une grandeur passe de la valeur $V_1$ à la valeur $V_2$ :

Variation absolue : $\Delta V = V_2 - V_1$ (en unité de la grandeur)

Variation relative (taux d'évolution) :

$\boxed{t = \frac{V_2 - V_1}{V_1}} = \frac{\Delta V}{V_1}$

C'est un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage.

Exemple : Un prix passe de $80$ € à $92$ €.

• Variation absolue : $92 - 80 = 12$ €
• Taux d'évolution : $\frac{12}{80} = 0{,}15 = +15\%$

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2.2 Coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur $CM$ est le nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale :

$\boxed{V_2 = CM \times V_1 \quad \text{avec} \quad CM = 1 + t}$

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2.3 Évolutions successives

Si une grandeur subit une première évolution de coefficient $CM_1$, puis une deuxième de coefficient $CM_2$, le coefficient multiplicateur global est :

$\boxed{CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2}$

Et le taux d'évolution global est $t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1$.

Exemple résolu : Un article augmente de $20\%$ puis baisse de $10\%$. Quel est le taux d'évolution global ?

$CM_{\text{global}} = 1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08$

$t_{\text{global}} = 1{,}08 - 1 = 0{,}08 = +8\%$

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⚠️ Une hausse de $20\%$ suivie d'une baisse de $20\%$ ne ramène pas au prix initial ! $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ → baisse globale de $4\%$.

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2.4 Évolution réciproque

L'évolution réciproque est celle qui « annule » l'évolution initiale (qui ramène à la valeur de départ).

Si $CM$ est le coefficient multiplicateur de l'évolution initiale :

$\boxed{CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{CM}}$

Exemple : Après une hausse de $25\%$ ($CM = 1{,}25$), quelle baisse faut-il pour revenir au prix initial ?

$CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}80$

$t_{\text{réciproque}} = 0{,}80 - 1 = -0{,}20 = -20\%$

Il faut une baisse de $20\%$ (et non de $25\%$ !) pour revenir au prix initial.

3. Statistique descriptive

3.1 Moyenne pondérée

La moyenne pondérée d'une série statistique est :

$\boxed{\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}}$

où $x_i$ sont les valeurs et $n_i$ les effectifs (ou coefficients de pondération).

Exemple : Notes d'un élève avec coefficients :

$\bar{x} = \frac{14 \times 5 + 12 \times 4 + 16 \times 3}{5 + 4 + 3} = \frac{70 + 48 + 48}{12} = \frac{166}{12} \approx 13{,}83$

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3.2 Linéarité de la moyenne

La moyenne possède des propriétés de linéarité :

• Si on ajoute une constante $c$ à toutes les valeurs : $\overline{x + c} = \bar{x} + c$
• Si on multiplie toutes les valeurs par $k$ : $\overline{kx} = k\bar{x}$

Exemple : Si la moyenne d'une classe est $12$, et qu'on ajoute $2$ points à chaque note, la nouvelle moyenne est $14$.

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3.3 Indicateurs de dispersion

Écart interquartile :

$\boxed{EI = Q_3 - Q_1}$

où $Q_1$ est le premier quartile (25% des valeurs sont en dessous) et $Q_3$ est le troisième quartile (75% des valeurs sont en dessous).

L'écart interquartile mesure la dispersion des $50\%$ centraux de la série.

Écart type :

L'écart type $\sigma$ mesure la dispersion moyenne des valeurs autour de la moyenne :

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

• Un écart type petit → les valeurs sont resserrées autour de la moyenne
• Un écart type grand → les valeurs sont dispersées

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3.4 Comparer deux séries statistiques

Pour comparer deux séries, on compare :

1. La tendance centrale : les moyennes (ou médianes)
2. La dispersion : les écarts types (ou écarts interquartiles)

Exemple : Deux classes ont la même moyenne ($13$), mais la classe A a un écart type de $2$ et la classe B un écart type de $5$. La classe A a des résultats plus homogènes ; la classe B a des résultats plus dispersés.

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📌 À retenir

1. Proportion = sous-effectif / effectif total. Pour un pourcentage : $\times 100$.
2. Taux d'évolution : $t = \frac{V_2 - V_1}{V_1}$ et $CM = 1 + t$.
3. Évolutions successives : on multiplie les coefficients multiplicateurs (on n'additionne pas les pourcentages !).
4. Évolution réciproque : $CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{CM}$.
5. Moyenne pondérée : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$.
6. Dispersion : l'écart interquartile et l'écart type mesurent « à quel point les valeurs sont étalées ».