Les longueurs — Grandeurs et mesures

1. Rappels : le périmètre d'une figure

Le périmètre d'une figure est la longueur totale de son contour. C'est la distance parcourue si on fait tout le tour de la figure.

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2. Le périmètre du disque

2.1 Vocabulaire du disque

• Le disque est la surface délimitée par un cercle (l'intérieur)
• Le cercle est la ligne courbe qui forme le contour du disque
• Le diamètre $d$ est le segment qui traverse le cercle en passant par le centre
• Le rayon $r$ est la moitié du diamètre : $r = \frac{d}{2}$, donc $d = 2 \times r$

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📐 Schéma du disque :

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2.2 Découverte : le périmètre est proportionnel au diamètre

Quand on mesure le périmètre (le tour) de plusieurs disques et qu'on divise à chaque fois par le diamètre, on trouve toujours le même nombre :

👉 Le périmètre d'un disque est proportionnel à son diamètre. Le coefficient de proportionnalité est toujours le même nombre, noté $\pi$ (la lettre grecque « pi »).

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2.3 La formule du périmètre du disque

$\boxed{P = \pi \times d}$

Comme $d = 2 \times r$, on peut aussi écrire :

$\boxed{P = 2 \times \pi \times r}$

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🔄 Processus de calcul :

📏 Je connais le rayon $r$ → ✖️ Je calcule $d = 2 \times r$ → ✖️ Je multiplie $P = \pi \times d$ → ✅ Résultat

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2.4 Exemple résolu pas à pas

Énoncé : Calcule le périmètre d'un disque de rayon $r = 5$ cm.

✅ Le périmètre vaut $10\pi$ cm, soit environ $31{,}4$ cm.

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3. Périmètres de figures composées

Une figure composée est une figure formée de plusieurs morceaux de figures simples (segments, arcs de cercle…). Pour calculer son périmètre, on additionne les longueurs de chaque partie du contour.

Méthode

1. Étape 1 → Identifier chaque morceau du contour (segment ? demi-cercle ? quart de cercle ?)
2. Étape 2 → Calculer la longueur de chaque morceau séparément
3. Étape 3 → Additionner toutes les longueurs

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Exemple résolu : un terrain en forme de rectangle + demi-cercle

Un terrain est composé d'un rectangle de longueur $L = 10$ m et de largeur $l = 6$ m, avec un demi-cercle ajouté sur un des petits côtés.

Le contour (périmètre) comprend :

• 2 longueurs : $2 \times 10 = 20$ m
• 1 largeur (le côté opposé au demi-cercle) : $6$ m
• 1 demi-cercle de diamètre $d = 6$ m

$\text{Demi-cercle} = \frac{\pi \times d}{2} = \frac{\pi \times 6}{2} = 3\pi \approx 9{,}42 \text{ m}$

$P = 20 + 6 + 3\pi \approx 20 + 6 + 9{,}42 = 35{,}42 \text{ m}$

✅ Le périmètre du terrain est d'environ $35{,}42$ m.

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4. Résoudre des problèmes impliquant des longueurs

Exemple de problème

Énoncé : Une roue de vélo a un rayon de $35$ cm. Quelle distance parcourt le vélo en 100 tours de roue ?

✅ Le vélo parcourt environ $219{,}8$ m, soit presque $220$ m.

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📌 À retenir

1. Le périmètre d'un disque est proportionnel à son diamètre, avec le coefficient $\pi \approx 3{,}14$.
2. Formule : $P = \pi \times d$ ou $P = 2 \times \pi \times r$ (avec $d = 2r$).
3. Figure composée : on identifie chaque morceau du contour, on calcule chaque longueur, puis on additionne le tout.
4. Pour un demi-cercle, le périmètre de la partie courbe vaut $\frac{\pi \times d}{2}$.
5. Dans un problème, bien repérer ce qui correspond à un périmètre et penser aux conversions d'unités si nécessaire.