Mesure et incertitudes

Dix élèves mesurent la même célérité du son et trouvent dix valeurs différentes ; laquelle est « la bonne » ? Aucune mesure n'est parfaite : le résultat d'une mesure est toujours accompagné d'un doute, que l'on quantifie par une incertitude. Ce chapitre, transversal à toute la physique-chimie, apprend à évaluer cette incertitude de deux façons, à écrire correctement un résultat et à décider s'il est compatible avec une valeur de référence. Ces outils sont à réutiliser dans tous les autres chapitres, dès qu'une grandeur est mesurée.

1. La variabilité d'une mesure

1.1 Constat

Lorsqu'on répète une mesure dans les mêmes conditions, on n'obtient pas toujours la même valeur : la mesure est variable. Les causes sont multiples :

• l'instrument (graduation, précision de l'affichage, étalonnage) ;
• l'opérateur (réflexes au chronomètre, lecture avec parallaxe, réglage du zéro) ;
• le protocole (rinçage de la verrerie, homogénéisation, température) ;
• la grandeur elle-même, qui peut fluctuer (tension du secteur, vent).

Certaines causes produisent des écarts aléatoires, tantôt en plus, tantôt en moins ; d'autres un biais systématique, toujours dans le même sens (balance mal tarée, chronomètre déclenché en retard).

1.2 Décrire une série de mesures

Une série de $n$ mesures $x_1, x_2, \dots, x_n$ se représente par un histogramme (effectif de chaque intervalle de valeurs) et se résume par deux nombres :

• la moyenne $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$, meilleure estimation de la valeur de la grandeur ;
• l'écart-type $s$, qui mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : environ deux tiers des mesures sont comprises entre $\bar{x} - s$ et $\bar{x} + s$. Il se calcule avec la calculatrice (mode statistique) ou un tableur.

Plus l'histogramme est étroit, plus la mesure est fidèle ; plus la moyenne est proche de la valeur de référence, plus elle est juste.

2. L'incertitude-type

2.1 Définition

L'incertitude-type $u(x)$ d'un résultat de mesure $x$ est un nombre positif, de même unité que $x$, qui caractérise la dispersion des valeurs que l'on pourrait raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée. Elle traduit le doute sur le résultat : plus $u(x)$ est petite, plus la mesure est précise. Il existe deux façons de l'évaluer.

2.2 Évaluation de type A : à partir d'une série de mesures

Si l'on a répété la mesure $n$ fois, la moyenne $\bar{x}$ est le résultat et son incertitude-type vaut

$u(x) = \frac{s}{\sqrt{n}}$

où $s$ est l'écart-type de la série. Répéter la mesure réduit l'incertitude : avec quatre fois plus de mesures, $u$ est divisée par deux. Cette méthode est statistique.

Exemple. Dix mesures de $g$ avec un pendule : moyenne $9{,}805$ m·s⁻², écart-type $s = 0{,}030$ m·s⁻² ; $u(g) = \dfrac{0{,}030}{\sqrt{10}} = 0{,}0095 \approx 0{,}010$ m·s⁻².

2.3 Évaluation de type B : à partir de l'instrument

Pour une mesure unique, on estime l'incertitude à partir des caractéristiques de l'instrument et du protocole. Si l'on sait que la valeur se trouve avec certitude dans un intervalle de demi-largeur $a$ autour de la valeur lue (tolérance du constructeur, demi-graduation, dernier chiffre affiché), l'incertitude-type est

$u(x) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Lorsqu'une mesure comporte plusieurs sources d'incertitude (lecture et parallaxe, par exemple), on retient la plus grande ou on les combine ; en première, on retient en général la source dominante.

3. Écrire le résultat d'une mesure

3.1 Forme du résultat

Un résultat de mesure s'écrit toujours avec son incertitude-type et son unité :

$x = \bar{x} \pm u(x) \qquad \text{(unité)}$

L'intervalle $[\bar{x} - u ; \bar{x} + u]$ est celui dans lequel la valeur de la grandeur a de bonnes chances de se trouver ; l'intervalle $\pm 2u$ la contient avec une probabilité d'environ $95\,\%$.

3.2 Chiffres significatifs

• L'incertitude est arrondie à un chiffre significatif (deux si le premier est un $1$) ; elle est toujours arrondie par excès.
• Le résultat est arrondi à la même décimale que l'incertitude : il est absurde d'écrire $9{,}8053 \pm 0{,}01$.

Exemples. $g = 9{,}81 \pm 0{,}01$ m·s⁻² ; $v = 3{,}46 \times 10^2 \pm 0{,}03 \times 10^2$ m·s⁻¹ ; $m = 45{,}20 \pm 0{,}06$ g.

L'incertitude relative $\dfrac{u(x)}{x}$, sans unité (souvent en $\%$), permet de comparer la précision de mesures de grandeurs différentes : $u(g)/g = 0{,}1\,\%$ ; une mesure à $5\,\%$ est grossière, à $0{,}1\,\%$ elle est précise.

4. Comparer à une valeur de référence

Pour savoir si un résultat $x \pm u(x)$ est compatible avec une valeur de référence $x_{\text{réf}}$ (valeur tabulée, attendue, ou donnée par un autre groupe), on calcule l'écart normalisé (ou z-score) :

$z = \frac{\lvert x - x_{\text{réf}} \rvert}{u(x)}$

• Si $z \leqslant 2$, l'écart est inférieur à deux incertitudes-types : le résultat est compatible avec la référence.
• Si $z > 2$, l'écart est significatif : il ne s'explique pas par la seule dispersion de la mesure ; il faut chercher une erreur (protocole, instrument, biais, calcul) ou remettre en cause le modèle.

Un $z$ petit ne prouve pas que la mesure est parfaite (une incertitude très grande rend tout compatible) ; un $z$ grand signale un problème à élucider.

Exemple. Célérité du son mesurée : $v = 350 \pm 3$ m·s⁻¹ ; référence à $20$ °C : $343$ m·s⁻¹. $z = \dfrac{\lvert 350 - 343 \rvert}{3} = 2{,}3 > 2$ : écart significatif. Une autre équipe trouve $340 \pm 5$ m·s⁻¹ : $z = 0{,}6$, compatible, mais moins précis.

5. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Pour déterminer la masse volumique d'une huile, un élève pèse $V = 50{,}0$ mL d'huile prélevés à la fiole jaugée (tolérance $\pm 0{,}05$ mL) : la balance, qui affiche au centigramme, indique $m = 45{,}82$ g. Par ailleurs, la classe a réalisé la même mesure en dix groupes et obtenu pour la masse volumique une moyenne de $0{,}917$ g·mL⁻¹ avec un écart-type de $0{,}012$ g·mL⁻¹. Valeur de référence pour cette huile : $0{,}920$ g·mL⁻¹.

a) Calculer la masse volumique obtenue par l'élève. b) Évaluer l'incertitude-type de type B sur le volume et sur la masse, et dire laquelle domine (en incertitude relative). c) Évaluer l'incertitude-type de type A sur la moyenne de la classe et écrire le résultat. d) Comparer ce résultat à la référence.

Résolution.

a) $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{45{,}82}{50{,}0} = 0{,}916$ g·mL⁻¹.

b) Volume : $u(V) = \dfrac{0{,}05}{\sqrt{3}} = 0{,}029$ mL, soit $u(V)/V = 0{,}06\,\%$. Masse : $u(m) = \dfrac{0{,}005}{\sqrt{3}} = 0{,}003$ g, soit $u(m)/m = 0{,}006\,\%$. L'incertitude relative du volume est dix fois plus grande : c'est le volume qui limite la précision. En pratique, les écarts entre groupes ($1{,}3\,\%$) sont bien plus grands : le protocole (bulles, huile restée dans la fiole) domine largement les instruments.

c) $u(\rho) = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{0{,}012}{\sqrt{10}} = 0{,}0038 \approx 0{,}004$ g·mL⁻¹. Résultat : $\rho = 0{,}917 \pm 0{,}004$ g·mL⁻¹.

d) $z = \dfrac{\lvert 0{,}917 - 0{,}920 \rvert}{0{,}004} = 0{,}75 \leqslant 2$ : le résultat de la classe est compatible avec la valeur de référence.

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🎯 Rédiger. Préciser le type d'évaluation (A : $s/\sqrt{n}$ ; B : $a/\sqrt{3}$ en indiquant l'origine de $a$), arrondir l'incertitude à un chiffre significatif par excès puis le résultat à la même décimale, écrire « $x = \dots \pm \dots$ unité », et conclure la comparaison avec la valeur de $z$.

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📌 À retenir

1. Une mesure est variable : instrument, opérateur, protocole ; une série se décrit par sa moyenne $\bar{x}$ et son écart-type $s$.
2. Incertitude-type $u(x)$ : dispersion des valeurs raisonnablement attribuables ; type A : $u = s/\sqrt{n}$ (série) ; type B : $u = a/\sqrt{3}$ (instrument, $a$ demi-largeur).
3. Résultat : $x = \bar{x} \pm u(x)$ (unité), incertitude à $1$ chiffre significatif par excès, résultat à la même décimale ; incertitude relative $u/x$.
4. Comparaison : $z = \lvert x - x_{\text{réf}} \rvert / u(x)$ ; $z \leqslant 2$ compatible, $z > 2$ écart significatif.