📝 Fiche de révision — Mesure et incertitudes

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📊 Variabilité d'une mesure

• Répéter une mesure donne des valeurs dispersées : instrument, opérateur, protocole, grandeur qui fluctue. Écarts aléatoires ou biais (toujours dans le même sens).
• Série de $n$ mesures : histogramme ; moyenne $\bar{x}$ (meilleure estimation) ; écart-type $s$ (dispersion, calculatrice en mode statistique).
• Histogramme étroit = mesure fidèle ; moyenne proche de la référence = mesure juste.

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🎯 Incertitude-type $u(x)$

Nombre positif, même unité que $x$, qui caractérise la dispersion des valeurs raisonnablement attribuables à la grandeur.

Sources de $a$ : demi-graduation (règle au mm : $0{,}5$ mm → $u = 0{,}29$ mm), tolérance gravée (fiole $100$ mL $\pm 0{,}1$ mL → $0{,}06$ mL), dernier chiffre affiché (balance $0{,}01$ g → $0{,}006$ g), notice, réflexes (chronomètre $0{,}2$ s → $0{,}12$ s).

Répéter $4$ fois plus de mesures divise $u$ par $2$.

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✍️ Écriture du résultat

$x = \bar{x} \pm u(x) \quad \text{(unité)}$

• $u$ arrondie à 1 chiffre significatif (2 si le premier est un 1), par excès.
• $x$ arrondi à la même décimale que $u$ : $g = 9{,}81 \pm 0{,}01$ m·s⁻².
• Incertitude relative $u(x)/x$ (en %) pour comparer des précisions.
• $\pm 2u$ : intervalle contenant la valeur avec environ $95\,\%$ de chances.

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⚖️ Comparer à une référence

$z = \frac{\lvert x - x_{\text{réf}} \rvert}{u(x)}$

• $z \leqslant 2$ : résultat compatible avec la référence.
• $z > 2$ : écart significatif : chercher une erreur, un biais, un défaut du modèle.
• Une grande incertitude rend « tout compatible » : $z$ petit ne prouve pas la précision.

Ex. : $350 \pm 3$ m·s⁻¹ contre $343$ : $z = 2{,}3$, significatif ; $340 \pm 5$ : $z = 0{,}6$, compatible.

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⚠️ Pièges à éviter

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📌 À retenir

1. Moyenne, écart-type, histogramme.
2. Type A : $s/\sqrt{n}$ ; type B : $a/\sqrt{3}$.
3. $x = \bar{x} \pm u$, 1 chiffre significatif, même décimale.
4. $z = \lvert x - x_{\text{réf}} \rvert / u$ ; seuil $2$.