Modélisation quadratique

Un ballon lancé en l'air monte, ralentit, puis redescend. Le chiffre d'affaires d'un commerçant augmente quand il monte ses prix, jusqu'au moment où les clients se détournent et où il baisse. L'arche d'un viaduc s'élève puis s'abaisse symétriquement. Ces phénomènes ne sont pas linéaires : la grandeur croît puis décroît, ou l'inverse, et possède un maximum ou un minimum.

Le modèle le plus simple pour les décrire est la fonction polynôme de degré 2, dont la courbe est une parabole. Ce chapitre apprend à reconnaître une parabole à partir de son expression, à trouver son sommet et son axe de symétrie sans formule à apprendre, et à utiliser la forme factorisée pour déterminer où la fonction s'annule et son signe.

1. Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

1.1 Définition et allure

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction de la forme

$f(x) = ax^2 + bx + c \qquad \text{avec } a \neq 0$

Sa courbe représentative est une parabole. Son allure dépend du signe de $a$ :

• si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut : elle descend puis remonte et possède un minimum ;
• si $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas : elle monte puis redescend et possède un maximum.

Le point le plus bas (ou le plus haut) est le sommet $S$. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par $S$, appelée axe de symétrie : deux points de la courbe de même ordonnée sont à égale distance de cet axe.

1.2 Trois expressions à reconnaître

La fonction $x \mapsto ax^2$. La parabole a pour sommet l'origine $O(0\,;\,0)$ et pour axe de symétrie l'axe des ordonnées. Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est « étroite » ; si $a < 0$, elle est retournée. Par exemple $y = 2x^2$ est plus resserrée que $y = x^2$, et $y = -0{,}5x^2$ est large et tournée vers le bas.

La fonction $x \mapsto ax^2 + c$. On ajoute $c$ à toutes les ordonnées : la parabole précédente est décalée verticalement de $c$. Le sommet devient $S(0\,;\,c)$, l'axe reste l'axe des ordonnées. Ainsi $y = -0{,}5x^2 + 3$ a pour sommet $(0\,;\,3)$ et pour maximum $3$.

La fonction $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$ (forme factorisée). La parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$, puisque $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Par symétrie, l'axe de symétrie passe au milieu de ces deux points : $x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. Le signe de $a$ donne encore l'allure. Par exemple $f(x) = 2(x - 1)(x - 4)$ coupe l'axe en $1$ et $4$, a pour axe $x = 2{,}5$ et pour sommet $S(2{,}5\,;\,f(2{,}5)) = S(2{,}5\,;\,-4{,}5)$ ; comme $a = 2 > 0$, ce sommet est un minimum.

1.3 Trouver l'axe de symétrie et le sommet sans formule

Pour une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ donnée sous forme développée, on ne demande aucune formule. On utilise la symétrie de la parabole : il suffit de trouver deux points de même ordonnée, l'axe passe au milieu.

Le plus simple est de choisir l'ordonnée $c = f(0)$ et de résoudre $f(x) = c$ :

$ax^2 + bx + c = c \iff ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = -\frac{b}{a}$

Les points d'abscisses $0$ et $-\dfrac{b}{a}$ ont la même ordonnée $c$ ; l'axe de symétrie est donc la droite $x = x_S$ avec $x_S$ le milieu de $0$ et $-\dfrac{b}{a}$. Le sommet a pour coordonnées $(x_S\,;\,f(x_S))$.

Exemple. $f(x) = x^2 - 6x + 5$. On résout $f(x) = 5$ : $x^2 - 6x = 0$, soit $x(x - 6) = 0$, soit $x = 0$ ou $x = 6$. L'axe de symétrie est $x = 3$, et $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ : le sommet est $S(3\,;\,-4)$, minimum de $f$ puisque $a = 1 > 0$.

1.4 Tableau de variations

Une fois le sommet connu, le tableau de variations s'écrit immédiatement.

Pour $a > 0$ : $f$ est décroissante jusqu'à $x_S$, puis croissante ; son minimum est $f(x_S)$.

Pour $a < 0$ : $f$ est croissante jusqu'à $x_S$, puis décroissante ; son maximum est $f(x_S)$.

Pour $f(x) = x^2 - 6x + 5$ : décroissante sur $]-\infty\,;\,3]$, croissante sur $[3\,;\,+\infty[$, minimum $-4$ atteint en $3$.

---

🎯 Trois questions, toujours dans le même ordre. Signe de $a$ (allure) ; axe de symétrie (deux points de même ordonnée, le plus souvent $f(x) = c$) ; sommet ($f(x_S)$). Le tableau de variations et la valeur de l'extremum en découlent. Aucune formule n'est exigée : ce raisonnement se refait à chaque fois en trois lignes.

---

2. Forme factorisée : racines et signe

2.1 Racines

Les racines d'une fonction polynôme de degré 2 sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$, c'est-à-dire les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Selon sa position, une parabole peut couper l'axe en deux points, le toucher en un seul (le sommet est sur l'axe) ou ne pas le rencontrer.

Quand $f$ est donnée sous forme factorisée $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent directement grâce à la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \iff x - x_1 = 0 \text{ ou } x - x_2 = 0 \iff x = x_1 \text{ ou } x = x_2$

Exemple. $g(x) = -3(x + 2)(x - 5)$ a pour racines $-2$ et $5$. Attention au signe : le facteur $x + 2$ s'annule pour $x = -2$.

Le calcul des racines à partir de la forme développée (le « discriminant ») n'est pas au programme : la forme factorisée est toujours fournie, ou bien les racines se lisent sur un graphique.

2.2 Signe

Pour connaître le signe de $g(x) = -3(x + 2)(x - 5)$, on dresse un tableau de signes : chaque facteur du premier degré change de signe en sa racine, et le signe du produit s'obtient par la règle des signes.

Donc $g(x) > 0$ pour $x \in\,]-2\,;\,5[$ et $g(x) < 0$ à l'extérieur. On retrouve la lecture graphique : la parabole, tournée vers le bas ($a = -3 < 0$), est au-dessus de l'axe entre ses racines.

La règle générale se déduit du tableau : une fonction polynôme de degré 2 est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines, et du signe opposé entre les racines. Le tableau de signes reste la justification attendue.

2.3 Passer d'une forme à l'autre

En développant la forme factorisée, on retrouve la forme $ax^2 + bx + c$ : $2(x - 1)(x - 4) = 2(x^2 - 5x + 4) = 2x^2 - 10x + 8$. Chaque forme a son usage :

Pour vérifier qu'une forme factorisée proposée est correcte, on la développe et l'on compare à la forme développée.

3. Des situations modélisées par une parabole

3.1 Mouvement parabolique

Un ballon est lancé depuis le sol ; sa hauteur, en mètres, après $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 10t = -5t(t - 2)$. Les racines sont $0$ (le lancer) et $2$ (le retour au sol) ; l'axe de symétrie est $t = 1$ ; la hauteur maximale est $h(1) = 5$ m. Le ballon monte pendant une seconde et redescend pendant une seconde : la montée et la descente sont symétriques.

3.2 L'arche d'un viaduc

Une arche a la forme de la parabole $y = -0{,}05x(x - 40)$, $x$ et $y$ en mètres, $x$ mesuré depuis le pied gauche. Les racines $0$ et $40$ sont les deux pieds de l'arche : sa portée est de $40$ m. L'axe de symétrie $x = 20$ passe par le milieu, et la hauteur maximale est $y(20) = -0{,}05 \times 20 \times (-20) = 20$ m. La même forme décrit les câbles d'un pont suspendu, cette fois tournés vers le haut.

3.3 Chiffre d'affaires et prix de vente

Un producteur vend $q = 200 - 4p$ objets par jour quand le prix unitaire est $p$ euros ($0 \leqslant p \leqslant 50$) : plus le prix monte, moins il vend. Son chiffre d'affaires est

$CA(p) = p \times (200 - 4p) = -4p(p - 50) = -4p^2 + 200p$

C'est une fonction polynôme de degré 2 avec $a = -4 < 0$ : le chiffre d'affaires croît puis décroît. Les racines sont $0$ (rien n'est vendu à prix nul) et $50$ (à $50$ € plus personne n'achète) ; l'axe de symétrie est $p = 25$ et le maximum vaut $CA(25) = 25 \times 100 = 2\,500$ €.

Le prix qui maximise le chiffre d'affaires n'est ni le plus bas ni le plus haut : c'est celui qui équilibre prix et quantité.

3.4 Croissance puis décroissance d'une population

Une population d'insectes, en milliers, est modélisée pendant douze mois par $P(t) = -2t^2 + 24t + 100$ ($t$ en mois). Pour trouver le maximum, on résout $P(t) = 100$ : $-2t^2 + 24t = 0$, soit $-2t(t - 12) = 0$, soit $t = 0$ ou $t = 12$. L'axe de symétrie est $t = 6$ et le maximum $P(6) = -72 + 144 + 100 = 172$ milliers. La population croît pendant six mois, puis décroît et retrouve sa valeur initiale au bout de douze mois. Ce modèle n'a de sens que sur cet intervalle : au-delà, il donnerait des valeurs négatives.

3.5 Un modèle simple de fiscalité

Si l'État taxe un produit au taux $t$ (en $\%$), la recette dépend à la fois du taux et de la quantité vendue, qui diminue quand le taux augmente. Un modèle simple est $R(t) = -0{,}5\,t\,(t - 100)$, en millions d'euros : la recette est nulle pour $t = 0$ (pas de taxe) et pour $t = 100$ (plus personne n'achète), et maximale à mi-chemin, $t = 50$, avec $R(50) = 1\,250$ millions. Au-delà de $50\,\%$, augmenter le taux fait baisser la recette. Ce modèle très simplifié illustre un raisonnement fréquent en économie.

---

🎯 Lire un énoncé de modélisation. Repérer l'intervalle de validité ($0 \leqslant p \leqslant 50$, $0 \leqslant t \leqslant 12$) ; identifier ce que représentent les racines (départ et arrivée, pieds de l'arche, seuils de rentabilité) ; traduire « le plus grand possible » par « le sommet » ; traduire « positif » ou « supérieur à » par un signe ou une inéquation. Toujours conclure avec les unités.

---

4. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Une entreprise fabrique entre $0$ et $60$ centaines d'objets par semaine. Son bénéfice hebdomadaire, en centaines d'euros, pour $x$ centaines d'objets est $B(x) = -x^2 + 60x - 500$.

a) Vérifier que $B(x) = -(x - 10)(x - 50)$. b) Résoudre $B(x) = 0$ et interpréter. c) Pour quelles productions l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice strictement positif ? d) Déterminer la production qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice. e) Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;\,60]$.

a) On développe : $-(x - 10)(x - 50) = -(x^2 - 50x - 10x + 500) = -(x^2 - 60x + 500) = -x^2 + 60x - 500 = B(x)$.

b) Produit nul : $-(x - 10)(x - 50) = 0 \iff x = 10$ ou $x = 50$. Le bénéfice est nul pour $10$ centaines ou $50$ centaines d'objets : ce sont les seuils de rentabilité.

c) Tableau de signes : $-1$ est négatif ; $x - 10$ est négatif avant $10$, positif après ; $x - 50$ est négatif avant $50$, positif après. Le produit est positif entre $10$ et $50$ : $B(x) > 0 \iff 10 < x < 50$. L'entreprise est bénéficiaire entre $1\,000$ et $5\,000$ objets par semaine.

d) La parabole est tournée vers le bas ($a = -1 < 0$) ; son axe de symétrie passe au milieu des racines : $x_S = \dfrac{10 + 50}{2} = 30$. Le bénéfice maximal est $B(30) = -900 + 1\,800 - 500 = 400$, soit $40\,000$ € pour $3\,000$ objets.

e) $B$ est croissante sur $[0\,;\,30]$ et décroissante sur $[30\,;\,60]$, avec $B(0) = -500$, $B(30) = 400$ et $B(60) = -3\,600 + 3\,600 - 500 = -500$.

---

🎯 Rédiger la recherche d'un maximum. Signe de $a$ (« la parabole est tournée vers le bas, donc le sommet est un maximum »), abscisse du sommet (milieu des racines ou résolution de $f(x) = c$), valeur du maximum ($f(x_S)$), phrase de conclusion avec les unités. Quatre lignes, pas de formule.

---

📌 À retenir

1. $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) a pour courbe une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ (minimum), vers le bas si $a < 0$ (maximum), symétrique par rapport à l'axe vertical passant par le sommet.
2. $x \mapsto ax^2$ : sommet $O$ ; $x \mapsto ax^2 + c$ : sommet $(0\,;\,c)$ ; $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$ : racines $x_1$, $x_2$ et axe $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.
3. Sans formule : l'axe de symétrie passe au milieu de deux points de même ordonnée, par exemple les solutions de $f(x) = c$ ; le sommet est $(x_S\,;\,f(x_S))$ ; le tableau de variations en découle.
4. Forme factorisée : racines par le produit nul, signe par un tableau de signes (signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre elles).
5. Modéliser : intervalle de validité, sens des racines (départ, retour, seuils de rentabilité), maximum au sommet, conclusion avec unités.