📐 Maths (enseignement scientifique)1ereFiche de révision

Modélisation quadratique

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Fiche de révision

Terme	Définition
Fonction polynôme de degré 2	$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$
Parabole	Sa courbe ; tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$
Sommet $S$	Point le plus bas ( $a > 0$ , minimum) ou le plus haut ( $a < 0$ , maximum)
Axe de symétrie	Droite verticale $x = x_S$ passant par le sommet
Racines	Solutions de $f(x) = 0$ : abscisses des points où la parabole coupe l'axe
Forme factorisée	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; les racines sont $x_1$ et $x_2$

Expression	Sommet	Axe	Remarque
$ax^2$	$O(0\,;\,0)$	$x = 0$	$\lvert a \rvert$ grand : parabole étroite
$ax^2 + c$	$(0\,;\,c)$	$x = 0$	décalage vertical de $c$
$a(x - x_1)(x - x_2)$	$(x_S\,;\,f(x_S))$	$x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$	coupe l'axe en $x_1$ et $x_2$ ; milieu des racines

Allure : signe de $a$ .
Axe de symétrie : deux points de même ordonnée, l'axe passe au milieu. Avec $c = f(0)$ : résoudre $f(x) = c \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0$ ou $x = -\dfrac{b}{a}$ ; $x_S$ = milieu.
Sommet : $S(x_S\,;\,f(x_S))$ .
Tableau de variations : $a > 0$ décroissante puis croissante (minimum $f(x_S)$ ) ; $a < 0$ croissante puis décroissante (maximum $f(x_S)$ ).

Exemple $f(x) = x^2 - 6x + 5$ : $f(x) = 5 \iff x = 0$ ou $x = 6$ ; axe $x = 3$ ; $S(3\,;\,-4)$ minimum.

Racines (produit nul) : $a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \iff x = x_1$ ou $x = x_2$ . Attention : $x + 2 = 0$ donne $x = -2$ .
Signe : tableau de signes avec une ligne par facteur ( $a$ , $x - x_1$ , $x - x_2$ ), règle des signes. Résultat : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe opposé entre.
Vérifier une forme factorisée : développer et comparer.

$g(x) = -3(x + 2)(x - 5)$ : racines $-2$ et $5$ ; $g(x) > 0$ sur $]-2\,;\,5[$ , $g(x) < 0$ ailleurs.

Le discriminant n'est pas au programme : la forme factorisée est donnée ou les racines se lisent graphiquement.

Situation	Modèle	Lecture
Ballon lancé	$h(t) = -5t(t - 2)$	racines = lancer et retour au sol, sommet = hauteur max ( $5$ m à $t = 1$ )
Arche, câble	$y = -0{,}05x(x - 40)$	racines = pieds (portée $40$ m), sommet = hauteur ( $20$ m)
Chiffre d'affaires	$CA(p) = p(200 - 4p) = -4p(p - 50)$	maximum au milieu des racines : $p = 25$ , $CA = 2\,500$ €
Population	$P(t) = -2t^2 + 24t + 100$ sur $[0\,;\,12]$	$P(t) = 100 \iff t = 0$ ou $12$ ; max $P(6) = 172$
Recette fiscale	$R(t) = -0{,}5t(t - 100)$	nulle à $0$ et $100\,\%$ , maximale à $50\,\%$
Bénéfice	$B(x) = -(x - 10)(x - 50)$	racines = seuils de rentabilité, positif entre, max en $30$

Toujours : intervalle de validité, sens des racines, sommet, conclusion avec unités.

Piège	Correction
Racine de $x + 2$ égale à $2$	$x + 2 = 0 \iff x = -2$
Chercher une formule pour le sommet	Symétrie : milieu de deux points de même ordonnée ( $f(x) = c$ )
Oublier $a$ dans le tableau de signes	Une ligne pour la constante $a$ ; elle inverse tout si $a < 0$
Sommet $=$ maximum sans regarder $a$	Maximum seulement si $a < 0$
Utiliser le modèle hors de son intervalle	Une population ou une hauteur négative n'a pas de sens
Développer pour trouver les racines	Les racines se lisent sur la forme factorisée

Parabole : allure par le signe de $a$ , symétrie par rapport à l'axe vertical du sommet.
Axe sans formule : milieu de deux abscisses de même ordonnée, souvent via $f(x) = c$ ; sommet $(x_S\,;\,f(x_S))$ .
Forme factorisée : racines par produit nul, signe par tableau (signe de $a$ à l'extérieur).
Trois expressions à associer à leur parabole : $ax^2$ , $ax^2 + c$ , $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
En situation : racines = début, fin, seuils ; sommet = maximum ou minimum ; unités et intervalle de validité.

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