Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers

1. Notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$

1.1 Rappels

• $\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,...\}$ est l'ensemble des entiers naturels (positifs ou nuls).
• $\mathbb{Z} = \{...\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,...\}$ est l'ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls).

On a $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ : tout entier naturel est aussi un entier relatif.

2. Multiples et diviseurs

2.1 Définitions

Soient $a$ et $b$ deux entiers ($b \neq 0$).

On dit que $a$ est un multiple de $b$ (ou que $b$ est un diviseur de $a$) s'il existe un entier $k$ tel que :

$a = k \times b$

On dit aussi que $b$ divise $a$, et on note $b \mid a$.

Exemples :

• $12 = 3 \times 4$, donc $12$ est un multiple de $3$ (et de $4$). On note $3 \mid 12$.
• $15 = 5 \times 3$, donc $5 \mid 15$ et $3 \mid 15$.
• $7$ n'est pas un diviseur de $10$ car il n'existe pas d'entier $k$ tel que $10 = 7k$.

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2.2 Nombres pairs et impairs

Un entier $n$ est pair s'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Autrement dit, $n$ est un multiple de $2$.

Un entier $n$ est impair s'il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$.

Exemples :

• $14 = 2 \times 7$ → pair
• $0 = 2 \times 0$ → pair (oui, zéro est pair !)
• $9 = 2 \times 4 + 1$ → impair
• $-6 = 2 \times (-3)$ → pair

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⚠️ Attention : tout entier est soit pair, soit impair — jamais les deux, et il n'y a pas de troisième cas.

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2.3 Propriétés des multiples et diviseurs

Propriétés utiles :

• Si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a \mid (b + c)$ et $a \mid (b - c)$.
• Si $a \mid b$, alors $a \mid (k \times b)$ pour tout entier $k$.
• Si $a \mid b$ et $b \mid c$, alors $a \mid c$ (transitivité).
• $1$ divise tout entier, et tout entier divise $0$.

Exemple résolu : Montrer que si $n$ est un entier pair, alors $n^2$ est pair.

Si $n$ est pair, on peut écrire $n = 2k$ pour un certain entier $k$.

Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times (2k^2)$.

Comme $2k^2$ est un entier, $n^2$ est bien un multiple de $2$ : $n^2$ est pair.

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2.4 Critères de divisibilité

Exemple : $2\,358$ est-il divisible par $3$ ? Somme des chiffres : $2 + 3 + 5 + 8 = 18$. Comme $3 \mid 18$, oui, $3 \mid 2\,358$.

3. Nombres premiers

3.1 Définition

Un entier naturel $p \geqslant 2$ est premier s'il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Exemples :

• $2$ est premier (diviseurs : $1$ et $2$) — c'est le seul nombre premier pair
• $3$ est premier (diviseurs : $1$ et $3$)
• $7$ est premier (diviseurs : $1$ et $7$)
• $4$ n'est pas premier (diviseurs : $1$, $2$ et $4$)
• $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur)

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📋 Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 :

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$

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3.2 Reconnaître un nombre premier

Méthode : pour vérifier si un entier $n \geqslant 2$ est premier, il suffit de tester la divisibilité de $n$ par tous les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \leqslant n$ (c'est-à-dire $p \leqslant \sqrt{n}$).

Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier.

Exemple résolu : $97$ est-il premier ?

On a $\sqrt{97} \approx 9{,}8$, il suffit de tester les premiers $\leqslant 9$ : $2, 3, 5, 7$.

• $97$ est impair → pas divisible par $2$
• $9 + 7 = 16$ → pas divisible par $3$
• $97$ ne finit pas par $0$ ou $5$ → pas divisible par $5$
• $97 \div 7 \approx 13{,}86$ → pas divisible par $7$

Conclusion : $97$ est premier.

Exemple résolu : $91$ est-il premier ?

On a $\sqrt{91} \approx 9{,}5$, on teste $2, 3, 5, 7$.

• $91$ est impair → pas divisible par $2$
• $9 + 1 = 10$ → pas divisible par $3$
• Ne finit pas par $0$ ou $5$ → pas divisible par $5$
• $91 = 7 \times 13$ → divisible par $7$

Conclusion : $91$ n'est pas premier.

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3.3 Décomposition en facteurs premiers

Théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier $n \geqslant 2$ peut s'écrire de manière unique comme produit de nombres premiers (à l'ordre près).

Exemple résolu : Décomposer $360$ en facteurs premiers.

$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$

$\boxed{360 = 2^3 \times 3^2 \times 5}$

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3.4 Fractions irréductibles

Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.

Méthode pour rendre une fraction irréductible : diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).

Exemple résolu : Simplifier $\frac{84}{126}$.

Décompositions : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.

PGCD : on prend chaque facteur premier avec le plus petit exposant → $\text{PGCD}(84, 126) = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 42$.

$\frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \boxed{\frac{2}{3}}$

4. Applications et problèmes

4.1 Problème type — Modéliser avec multiples et diviseurs

Énoncé : Un fleuriste dispose de $120$ roses et $180$ tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Quel est le nombre maximal de bouquets ?

Résolution :

• Le nombre de bouquets doit diviser $120$ et $180$.
• On cherche le plus grand diviseur commun.
• $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
• $\text{PGCD}(120, 180) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$
• Avec $60$ bouquets : $120 \div 60 = 2$ roses et $180 \div 60 = 3$ tulipes par bouquet.

Réponse : Le fleuriste peut faire au maximum $60$ bouquets de $2$ roses et $3$ tulipes.

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4.2 Problème type — Parité

Énoncé : Montrer que pour tout entier $n$, le nombre $n^2 + n$ est toujours pair.

Résolution : On factorise : $n^2 + n = n(n + 1)$.

Or $n$ et $n + 1$ sont deux entiers consécutifs : l'un des deux est forcément pair.

Donc leur produit $n(n + 1)$ est pair (car un produit contenant un facteur pair est pair).

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📌 À retenir

1. $a$ est multiple de $b$ si $a = kb$ pour un entier $k$. On dit aussi que $b$ divise $a$.
2. Un nombre pair est un multiple de $2$ ($n = 2k$) ; un nombre impair s'écrit $n = 2k + 1$.
3. Un nombre $p \geqslant 2$ est premier s'il n'a que deux diviseurs : $1$ et $p$.
4. Tout entier $\geqslant 2$ se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
5. Pour vérifier si $n$ est premier, on teste les premiers $p \leqslant \sqrt{n}$.
6. Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun.