Méthode : pour vérifier si un entier n⩾2 est premier, il suffit de tester la divisibilité de n par tous les nombres premiers p tels que p2⩽n (c'est-à-dire p⩽n).
Si aucun ne divise n, alors n est premier.
Exemple résolu :97 est-il premier ?
On a 97≈9,8, il suffit de tester les premiers ⩽9 : 2,3,5,7.
97 est impair → pas divisible par 2
9+7=16 → pas divisible par 3
97 ne finit pas par 0 ou 5 → pas divisible par 5
97÷7≈13,86 → pas divisible par 7
Conclusion :97 est premier.
Exemple résolu :91 est-il premier ?
On a 91≈9,5, on teste 2,3,5,7.
91 est impair → pas divisible par 2
9+1=10 → pas divisible par 3
Ne finit pas par 0 ou 5 → pas divisible par 5
91=7×13 → divisible par 7
Conclusion :91 n'est pas premier.
3.3 Décomposition en facteurs premiers
Théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier n⩾2 peut s'écrire de manière unique comme produit de nombres premiers (à l'ordre près).
Exemple résolu : Décomposer 360 en facteurs premiers.
360=2×180=2×2×90=2×2×2×45=2×2×2×3×15=2×2×2×3×3×5
360=23×32×5
3.4 Fractions irréductibles
Une fraction ba est irréductible si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Méthode pour rendre une fraction irréductible : diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).
Exemple résolu : Simplifier 12684.
Décompositions : 84=22×3×7 et 126=2×32×7.
PGCD : on prend chaque facteur premier avec le plus petit exposant → PGCD(84,126)=21×31×71=42.
12684=126÷4284÷42=32
4. Applications et problèmes
4.1 Problème type — Modéliser avec multiples et diviseurs
Énoncé : Un fleuriste dispose de 120 roses et 180 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Quel est le nombre maximal de bouquets ?
Résolution :
Le nombre de bouquets doit diviser 120et180.
On cherche le plus grand diviseur commun.
120=23×3×5 et 180=22×32×5
PGCD(120,180)=22×3×5=60
Avec 60 bouquets : 120÷60=2 roses et 180÷60=3 tulipes par bouquet.
Réponse : Le fleuriste peut faire au maximum 60 bouquets de 2 roses et 3 tulipes.
4.2 Problème type — Parité
Énoncé : Montrer que pour tout entier n, le nombre n2+n est toujours pair.
Résolution : On factorise : n2+n=n(n+1).
Or n et n+1 sont deux entiers consécutifs : l'un des deux est forcément pair.
Donc leur produit n(n+1) est pair (car un produit contenant un facteur pair est pair).
📌 À retenir
a est multiple de b si a=kb pour un entier k. On dit aussi que bdivisea.
Un nombre pair est un multiple de 2 (n=2k) ; un nombre impair s'écrit n=2k+1.
Un nombre p⩾2 est premier s'il n'a que deux diviseurs : 1 et p.
Tout entier ⩾2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
Pour vérifier si n est premier, on teste les premiers p⩽n.
Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun.
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