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Fiche de révision Multiples, diviseurs et nombres premiers — Mathématiques 2nde | KlarIA

🔢 Mathématiques2ndeFiche de révision

Multiples, diviseurs et nombres premiers

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Fiche de révision

Terme	Définition
$\mathbb{N}$	Ensemble des entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \ldots$
$\mathbb{Z}$	Ensemble des entiers relatifs : $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
Multiple	$a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$
Diviseur	$b$ est un diviseur de $a$ si $a = k \times b$ avec $k$ entier (on note $b \mid a$ )
Nombre pair	Entier multiple de 2, de la forme $2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Nombre impair	Entier qui n'est pas multiple de 2, de la forme $2k+1$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Nombre premier	Entier naturel ≥ 2 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
Fraction irréductible	Fraction $\dfrac{a}{b}$ dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1

Propriété	Formulation
$a$ multiple de $b$	$\exists\, k \in \mathbb{Z},\; a = k \times b$
Pair $\times$ tout entier	→ toujours pair
Impair $\times$ impair	→ toujours impair
Pair $+$ pair	→ pair
Impair $+$ impair	→ pair
Pair $+$ impair	→ impair
Tester si $n$ est premier	Vérifier qu'aucun entier premier $p$ avec $2 \leq p \leq \sqrt{n}$ ne divise $n$

Nombres premiers à connaître : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$

Méthode 1 — Déterminer si un nombre est premier

Méthode 2 — Rendre une fraction irréductible

Décomposer numérateur et dénominateur en produit de facteurs premiers
Simplifier par tous les facteurs communs
Ex : $\dfrac{84}{120} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 7}{2^3 \times 3 \times 5} = \dfrac{7}{2 \times 5} = \dfrac{7}{10}$

Méthode 3 — Décomposition en facteurs premiers

Piège	Correction
Dire que 1 est premier	❌ 1 n'a qu'un seul diviseur, il faut en avoir exactement 2
Dire que 2 n'est pas premier car pair	❌ 2 est le seul nombre premier pair
Oublier que 0 est pair	✅ $0 = 2 \times 0$ , donc 0 est bien pair
Confondre multiple et diviseur	« 12 est multiple de 3 » ≠ « 12 est diviseur de 3 »
S'arrêter trop tôt en simplifiant	Toujours vérifier qu'il ne reste aucun facteur commun

Multiple / diviseur sont deux points de vue de la même relation : si $a = k \times b$ , alors $a$ est multiple de $b$ et $b$ est diviseur de $a$ .
1 n'est pas premier, 2 est le seul premier pair.
Pour tester si $n$ est premier, on teste les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{n}$ seulement.
Pour rendre une fraction irréductible, on décompose en facteurs premiers puis on simplifie.
Tout entier $\geq 2$ se décompose en un produit de nombres premiers (de manière unique).

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