Les nombres entiers et décimaux

1. La numération : chaque chiffre a une valeur

Le rang des chiffres (position)

Dans notre système, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Prenons $3\,527{,}684$ :

Le chiffre $5$ vaut ici $5 \times 100 = 500$ (il est au rang des centaines).

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Liens entre unités de numération

Chaque unité vaut 10 fois l'unité du rang suivant à droite :

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🔢 Passage entre unités :

$1$ millier → $10$ centaines → $100$ dizaines → $1\,000$ unités

$1$ unité → $10$ dixièmes → $100$ centièmes → $1\,000$ millièmes

Exemple : $0{,}1 = \frac{1}{10}$ donc $1$ dixième $= 10$ centièmes $= 100$ millièmes.

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Grands nombres entiers

Pour lire les grands nombres, on regroupe les chiffres par tranches de trois à partir de la droite : $1\,345\,000$ se lit « un million trois cent quarante-cinq mille ».

2. Les différentes écritures d'un nombre décimal

Un nombre décimal possède une partie entière et une partie décimale (après la virgule). On peut l'écrire de plusieurs façons :

Le pourcentage signifie « pour cent » : $25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25$.

Exemple : $\frac{7}{10} = 0{,}7 = 70\%$.

3. Placer et repérer sur une demi-droite graduée

On trace une demi-droite graduée en choisissant une origine et un pas régulier.

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📏 Placer $1{,}3$ sur une droite graduée au dixième :

$\underset{0}{\bullet}$——$\underset{1}{\bullet}$—·—·—$\underset{1{,}3}{\color{red}{\bullet}}$—·—·—·—·—·—·—$\underset{2}{\bullet}$ → graduation

On repère : $1{,}3$ se situe entre $1$ et $2$, à 3 dixièmes après $1$.

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4. Comparer, ordonner, encadrer et arrondir

• Comparer : on compare d'abord les parties entières, puis dixièmes, centièmes… $3{,}72 > 3{,}6$ car au rang des dixièmes $7 > 6$.
• Ordonner : ranger dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant.
• Encadrer : trouver deux valeurs qui entourent un nombre. Encadrement au dixième : $3{,}7 < 3{,}72 < 3{,}8$
• Arrondir : remplacer par la valeur la plus proche. $3{,}72$ arrondi au dixième donne $3{,}7$ (car $2 < 5$).

5. Opérations sur les décimaux

Addition et soustraction

On aligne les virgules et on calcule colonne par colonne.

Exemple résolu pas à pas : $12{,}6 + 3{,}475$

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Multiplication

Multiplier par $0{,}1$ ; $0{,}01$ ; $0{,}001$

Multiplier par $0{,}1$ revient à diviser par $10$ : on décale la virgule d'un rang vers la gauche.

Produit de deux décimaux

Méthode :

Exemple : $2{,}3 \times 1{,}4$

$23 \times 14 = 322$. Il y a $1 + 1 = 2$ chiffres après la virgule → $\boldsymbol{2{,}3 \times 1{,}4 = 3{,}22}$

Contrôle par ordre de grandeur

On vérifie en arrondissant : $2{,}3 \approx 2$ et $1{,}4 \approx 1{,}5$ donc $2 \times 1{,}5 = 3$. Le résultat $3{,}22$ est cohérent ✅.

6. La division

Division euclidienne (entre entiers)

$\text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste}$

Exemple : $47 \div 6$ → $47 = 6 \times 7 + 5$ (quotient $= 7$, reste $= 5$).

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Division décimale

On poursuit la division après la virgule en ajoutant des zéros au dividende.

Exemple résolu : $47 \div 4$

7. Résolution de problèmes

Problème : Un lot de $6$ cahiers coûte $8{,}70$ €. Quel est le prix d'un cahier ?

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📌 À retenir

1. La valeur d'un chiffre dépend de son rang : chaque rang vaut 10 fois le suivant à droite.
2. Un nombre décimal peut s'écrire avec une virgule, une fraction décimale, un nombre mixte ou un pourcentage ($25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25$).
3. Pour comparer, on regarde rang par rang de gauche à droite ; pour arrondir, on regarde le chiffre suivant ($< 5$ → on garde, $\geq 5$ → on augmente).
4. Multiplier par $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ revient à diviser par $10$, $100$, $1\,000$ (virgule décalée vers la gauche).
5. Pour le produit de deux décimaux, on multiplie sans virgule puis on place la virgule en comptant le total de décimales des deux facteurs.