Les nombres entiers et décimaux
1. La numération : chaque chiffre a une valeur
Le rang des chiffres (position)
Dans notre système, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Prenons 3527,684 :
| Milliers | Centaines | Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|
| 3 | 5 | 2 | 7 | , | 6 | 8 | 4 |
Le chiffre 5 vaut ici 5×100=500 (il est au rang des centaines).
Liens entre unités de numération
Chaque unité vaut 10 fois l'unité du rang suivant à droite :
🔢 Passage entre unités :
1 millier → 10 centaines → 100 dizaines → 1000 unités
1 unité → 10 dixièmes → 100 centièmes → 1000 millièmes
Exemple : 0,1=101 donc 1 dixième =10 centièmes =100 millièmes.
Grands nombres entiers
Pour lire les grands nombres, on regroupe les chiffres par tranches de trois à partir de la droite : 1345000 se lit « un million trois cent quarante-cinq mille ».
2. Les différentes écritures d'un nombre décimal
Un nombre décimal possède une partie entière et une partie décimale (après la virgule). On peut l'écrire de plusieurs façons :
| Écriture | Exemple pour 2,75 |
|---|
| Écriture décimale (virgule) | 2,75 |
| Fraction décimale | 100275 |
| Nombre mixte | 2+10075 |
| Pourcentage | 275% de l'unité (ou 2,75=275%) |
Le pourcentage signifie « pour cent » : 25%=10025=0,25.
Exemple : 107=0,7=70%.
3. Placer et repérer sur une demi-droite graduée
On trace une demi-droite graduée en choisissant une origine et un pas régulier.
📏 Placer 1,3 sur une droite graduée au dixième :
0∙——1∙—·—·—1,3∙—·—·—·—·—·—·—2∙ → graduation
On repère : 1,3 se situe entre 1 et 2, à 3 dixièmes après 1.
4. Comparer, ordonner, encadrer et arrondir
- Comparer : on compare d'abord les parties entières, puis dixièmes, centièmes…
3,72>3,6 car au rang des dixièmes 7>6.
- Ordonner : ranger dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant.
- Encadrer : trouver deux valeurs qui entourent un nombre.
Encadrement au dixième : 3,7<3,72<3,8
- Arrondir : remplacer par la valeur la plus proche.
3,72 arrondi au dixième donne 3,7 (car 2<5).
5. Opérations sur les décimaux
Addition et soustraction
On aligne les virgules et on calcule colonne par colonne.
Exemple résolu pas à pas : 12,6+3,475
Étape 1 → Aligner les virgules et compléter par des zéros : 12,600+3,475
Étape 2 → Additionner de droite à gauche : millièmes 0+5=5, centièmes 0+7=7, dixièmes 6+4=10 (on pose 0, retenue 1)…
Étape 3 → Résultat : 16,075
Multiplication
Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10 : on décale la virgule d'un rang vers la gauche.
| Opération | Équivalence | Exemple |
|---|
| ×0,1 | ÷10 | 45,3×0,1=4,53 |
| ×0,01 | ÷100 | 45,3×0,01=0,453 |
| ×0,001 | ÷1000 | 45,3×0,001=0,0453 |
Produit de deux décimaux
Méthode :
Étape 1 → Effectuer la multiplication sans tenir compte des virgules.
Étape 2 → Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
Étape 3 → Placer la virgule dans le résultat.
Exemple : 2,3×1,4
23×14=322. Il y a 1+1=2 chiffres après la virgule → 2,3×1,4=3,22
Contrôle par ordre de grandeur
On vérifie en arrondissant : 2,3≈2 et 1,4≈1,5 donc 2×1,5=3. Le résultat 3,22 est cohérent ✅.
6. La division
Division euclidienne (entre entiers)
Dividende=Diviseur×Quotient+Reste
Exemple : 47÷6 → 47=6×7+5 (quotient =7, reste =5).
Division décimale
On poursuit la division après la virgule en ajoutant des zéros au dividende.
Exemple résolu : 47÷4
Étape 1 → 47=4×11+3 → on écrit 11,
Étape 2 → On abaisse un 0 : 30÷4=7 reste 2 → 11,7
Étape 3 → On abaisse un 0 : 20÷4=5 reste 0 → 11,75
7. Résolution de problèmes
Problème : Un lot de 6 cahiers coûte 8,70 €. Quel est le prix d'un cahier ?
Étape 1 → Identifier l'opération : prix unitaire = prix total ÷ nombre → 8,70÷6
Étape 2 → Calculer : 8,70÷6=1,45
Étape 3 → Vérifier (ordre de grandeur) : 6×1,5=9 ≈ 8,70 ✅
Réponse : Un cahier coûte 1,45 €.
📌 À retenir
- La valeur d'un chiffre dépend de son rang : chaque rang vaut 10 fois le suivant à droite.
- Un nombre décimal peut s'écrire avec une virgule, une fraction décimale, un nombre mixte ou un pourcentage (25%=10025=0,25).
- Pour comparer, on regarde rang par rang de gauche à droite ; pour arrondir, on regarde le chiffre suivant (<5 → on garde, ≥5 → on augmente).
- Multiplier par 0,1, 0,01, 0,001 revient à diviser par 10, 100, 1000 (virgule décalée vers la gauche).
- Pour le produit de deux décimaux, on multiplie sans virgule puis on place la virgule en comptant le total de décimales des deux facteurs.