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Nombres entiers et divisibilité — Cours Mathématiques 3ème | KlarIA

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Nombres entiers et divisibilité

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Cours

Nombres entiers et divisibilité

1. Multiples et diviseurs

1.1 Définitions

Un nombre entier $a$ est un multiple de $b$ lorsque $a = b \times k$ , où $k$ est un nombre entier.

Un nombre entier $b$ est un diviseur de $a$ lorsque $b$ divise $a$ exactement, c'est-à-dire que le reste de la division de $a$ par $b$ est nul.

💡 Ces deux notions sont les deux faces d'une même pièce :

$\text{« } a \text{ est un multiple de } b \text{ »} \iff \text{« } b \text{ est un diviseur de } a \text{ »}$

Exemple : $42 = 6 \times 7$ , donc $42$ est un multiple de $6$ (et de $7$ ), et $6$ est un diviseur de $42$ (et $7$ aussi).

1.2 Trouver tous les diviseurs d'un nombre

Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, on cherche les paires de nombres dont le produit donne ce nombre.

Exemple résolu : Trouver tous les diviseurs de $36$ .

On teste...	Division	Diviseur ?	Paire trouvée
$1$	$36 \div 1 = 36$	✅	$1$ et $36$
$2$	$36 \div 2 = 18$	✅	$2$ et $18$
$3$	$36 \div 3 = 12$	✅	$3$ et $12$
$4$	$36 \div 4 = 9$	✅	$4$ et $9$
$5$	$36 \div 5 = 7{,}2$	❌	—
$6$	$36 \div 6 = 6$	✅	$6$ et $6$

On s'arrête quand on dépasse $\sqrt{36} = 6$ (les paires suivantes ont déjà été trouvées).

Résultat : Les diviseurs de $36$ sont $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ .

2. Critères de divisibilité

Les critères de divisibilité permettent de savoir instantanément si un nombre est divisible par un autre, sans poser la division.

Divisible par	Critère	Exemple avec $2\,538$
$2$	Le chiffre des unités est pair ( $0, 2, 4, 6, 8$ )	Unité $= 8$ (pair) → ✅
$3$	La somme des chiffres est divisible par $3$	$2+5+3+8 = 18$ , or $18 \div 3 = 6$ → ✅
$5$	Le chiffre des unités est $0$ ou $5$	Unité $= 8$ → ❌
$9$	La somme des chiffres est divisible par $9$	$2+5+3+8 = 18$ , or $18 \div 9 = 2$ → ✅

⚠️ Astuce : Si un nombre est divisible par $9$ , il est automatiquement divisible par $3$ (car $9$ est un multiple de $3$ ). L'inverse n'est pas vrai : $12$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ .

Exemple résolu

Le nombre $4\,725$ est-il divisible par $2$ ? par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ?

Par $2$ ? Chiffre des unités $= 5$ (impair) → ❌ Non.
Par $5$ ? Chiffre des unités $= 5$ → ✅ Oui.
Par $3$ ? Somme des chiffres : $4+7+2+5 = 18$ . Or $18 \div 3 = 6$ → ✅ Oui.
Par $9$ ? Somme des chiffres $= 18$ . Or $18 \div 9 = 2$ → ✅ Oui.

3. Nombres premiers

3.1 Définition

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à $1$ qui n'a exactement que deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Nombre	Diviseurs	Premier ?
$1$	$\{1\}$ — un seul diviseur	❌ ( $1$ n'est pas premier)
$2$	$\{1, 2\}$	✅ (c'est le seul nombre premier pair)
$3$	$\{1, 3\}$	✅
$4$	$\{1, 2, 4\}$ — trois diviseurs	❌
$7$	$\{1, 7\}$	✅
$9$	$\{1, 3, 9\}$	❌ ( $9 = 3 \times 3$ )
$11$	$\{1, 11\}$	✅

⚠️ Pièges classiques :

$1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur).
$2$ est premier (c'est le seul nombre premier pair).
Un nombre impair n'est pas forcément premier (contre-exemple : $9, 15, 21...$ ).

3.2 Les nombres premiers à connaître

Les nombres premiers inférieurs à $50$ :

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$

💡 Astuce pour vérifier si un nombre $n$ est premier : on teste s'il est divisible par les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11...$ en s'arrêtant dès qu'on dépasse $\sqrt{n}$ . Si aucun ne divise $n$ , alors $n$ est premier.

Exemple : $53$ est-il premier ?

$\sqrt{53} \approx 7{,}3$ , donc on teste $2, 3, 5, 7$ .
$53 \div 2$ → impair, non. $53 \div 3$ → $5+3=8$ , non divisible par $3$ . $53 \div 5$ → ne finit pas par $0$ ou $5$ . $53 \div 7 = 7{,}57...$ → non.
Aucun premier $\leq 7$ ne divise $53$ → $53$ est premier. ✅

4. Décomposition en produit de facteurs premiers

4.1 Principe

Tout nombre entier supérieur à $1$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, de manière unique (à l'ordre des facteurs près). C'est le théorème fondamental de l'arithmétique.

4.2 Méthode

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, et on recommence avec le quotient obtenu, jusqu'à obtenir $1$ .

Exemple résolu pas à pas : décomposer $360$

On divise	Par le plus petit premier	Quotient
$360$	$\div 2$	$180$
$180$	$\div 2$	$90$
$90$	$\div 2$	$45$
$45$	$\div 3$	$15$
$15$	$\div 3$	$5$
$5$	$\div 5$	$1$ ✅

$\boxed{360 = 2^3 \times 3^2 \times 5}$

Vérification : $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ ✅

4.3 Présentation en arbre

On peut aussi décomposer en dessinant un arbre de facteurs : à chaque étape, on décompose un nombre en deux facteurs, et on continue tant qu'un facteur n'est pas premier.

Les feuilles (en violet) sont les facteurs premiers : 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

4.4 Autres exemples

Nombre	Décomposition	Écriture avec puissances
$12$	$2 \times 2 \times 3$	$2^2 \times 3$
$45$	$3 \times 3 \times 5$	$3^2 \times 5$
$84$	$2 \times 2 \times 3 \times 7$	$2^2 \times 3 \times 7$
$150$	$2 \times 3 \times 5 \times 5$	$2 \times 3 \times 5^2$
$180$	$2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$	$2^2 \times 3^2 \times 5$

5. PGCD — Plus Grand Commun Diviseur

5.1 Définition

Le PGCD de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise les deux à la fois.

On note $\text{PGCD}(a, b)$ .

Exemple : Les diviseurs de $12$ sont $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ . Les diviseurs de $18$ sont $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ . Les diviseurs communs sont $\{1, 2, 3, 6\}$ . Le plus grand est $6$ .

$\text{PGCD}(12, 18) = 6$

5.2 Méthode par décomposition en facteurs premiers

C'est la méthode la plus efficace pour les grands nombres :

Étape 1 → Décomposer chaque nombre en facteurs premiers. Étape 2 → Identifier les facteurs communs. Étape 3 → Prendre chaque facteur commun avec le plus petit exposant.

Exemple résolu : calculer $\text{PGCD}(360, 150)$

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$
$150 = 2 \times 3 \times 5^2$

Facteur premier	Exposant dans $360$	Exposant dans $150$	Plus petit exposant
$2$	$3$	$1$	$\mathbf{1}$
$3$	$2$	$1$	$\mathbf{1}$
$5$	$1$	$2$	$\mathbf{1}$

$\text{PGCD}(360, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$

Vérification : $360 \div 30 = 12$ ✅ et $150 \div 30 = 5$ ✅

5.3 À quoi sert le PGCD ?

Le PGCD sert principalement à simplifier les fractions :

$\frac{a}{b} = \frac{a \div \text{PGCD}(a,b)}{b \div \text{PGCD}(a,b)}$

Exemple : Simplifier $\dfrac{360}{150}$ .

On a trouvé $\text{PGCD}(360, 150) = 30$ .

$\frac{360}{150} = \frac{360 \div 30}{150 \div 30} = \frac{12}{5}$

$12$ et $5$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ → la fraction $\dfrac{12}{5}$ est irréductible. ✅

6. Fraction irréductible

6.1 Définition

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ , c'est-à-dire quand $\text{PGCD}(a, b) = 1$ .

Fraction	$\text{PGCD}$ du numérateur et dénominateur	Irréductible ?
$\dfrac{3}{7}$	$\text{PGCD}(3, 7) = 1$	✅ Oui
$\dfrac{4}{6}$	$\text{PGCD}(4, 6) = 2$	❌ Non → $\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{15}{25}$	$\text{PGCD}(15, 25) = 5$	❌ Non → $\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{8}{15}$	$\text{PGCD}(8, 15) = 1$	✅ Oui

6.2 Rendre une fraction irréductible — méthode complète

Exemple résolu : Rendre irréductible la fraction $\dfrac{84}{126}$ .

Étape 1 → Décomposer en facteurs premiers :

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$

Étape 2 → Calculer le PGCD :

Facteurs communs avec le plus petit exposant : $2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 42$

Étape 3 → Diviser : $\frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}$

Étape 4 → Vérification : $\text{PGCD}(2, 3) = 1$ → la fraction $\dfrac{2}{3}$ est bien irréductible. ✅

6.3 Méthode rapide par simplifications successives

Si on ne veut pas décomposer, on peut simplifier étape par étape en divisant par des diviseurs communs évidents :

$\frac{84}{126} \xrightarrow{\div 2} \frac{42}{63} \xrightarrow{\div 3} \frac{14}{21} \xrightarrow{\div 7} \frac{2}{3}$

On s'arrête quand plus aucun diviseur commun n'existe.

💡 La méthode du PGCD est plus rapide car elle simplifie en une seule étape, mais la méthode par étapes est plus accessible quand on ne maîtrise pas encore la décomposition.

7. Trouver un dénominateur commun

7.1 Pourquoi ?

Pour additionner, soustraire ou comparer des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur.

7.2 Méthode

On cherche le plus petit multiple commun (PPCM) des deux dénominateurs.

Méthode par décomposition : On prend chaque facteur premier avec le plus grand exposant (c'est l'inverse du PGCD !).

Exemple résolu : Mettre $\dfrac{5}{12}$ et $\dfrac{7}{18}$ au même dénominateur.

Étape 1 → Décomposer les dénominateurs :

$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$

Étape 2 → Calculer le PPCM (plus grand exposant de chaque facteur) :

Facteur	Exposant dans $12$	Exposant dans $18$	Plus grand
$2$	$2$	$1$	$\mathbf{2}$
$3$	$1$	$2$	$\mathbf{2}$

$\text{PPCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

Étape 3 → Transformer les fractions :

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36} \qquad \frac{7}{18} = \frac{7 \times 2}{18 \times 2} = \frac{14}{36}$

On peut maintenant comparer : $\dfrac{15}{36} > \dfrac{14}{36}$ , donc $\dfrac{5}{12} > \dfrac{7}{18}$ .

Ou additionner : $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36} = \dfrac{29}{36}$ .

8. PGCD et PPCM — la relation qui les lie

Il existe une relation pratique entre le PGCD et le PPCM de deux nombres $a$ et $b$ :

$\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = a \times b$

Vérification avec $a = 12$ et $b = 18$ :

$\text{PGCD}(12, 18) = 6$
$\text{PPCM}(12, 18) = 36$
$6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$ ✅

💡 Cette relation permet de retrouver le PPCM si on connaît le PGCD (et inversement) :

$\text{PPCM}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{PGCD}(a,b)}$

9. Résoudre des problèmes avec la divisibilité

Exemple 1 — Partage équitable

Problème : Un fleuriste a $84$ roses et $126$ tulipes. Il veut composer des bouquets identiques utilisant toutes les fleurs, avec le plus grand nombre possible de bouquets. Combien de bouquets peut-il faire ? Que contient chaque bouquet ?

Résolution :

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $84$ et $126$ → c'est un diviseur commun.
On veut le plus grand nombre → c'est le PGCD.
$\text{PGCD}(84, 126) = 42$ (calculé plus haut).

Réponse : Il peut faire $42$ bouquets, chacun contenant $84 \div 42 = 2$ roses et $126 \div 42 = 3$ tulipes.

Exemple 2 — Événements périodiques

Problème : Un bus A passe toutes les $12$ minutes et un bus B passe toutes les $18$ minutes. Ils passent ensemble à $8\text{h}00$ . À quelle heure passeront-ils ensemble la prochaine fois ?

Résolution :

Ils repassent ensemble quand le temps écoulé est un multiple commun de $12$ et $18$ .
On veut la prochaine fois → c'est le PPCM.
$\text{PPCM}(12, 18) = 36$ minutes.

Réponse : Ils repassent ensemble à $8\text{h}36$ .

📌 À retenir

Multiples et diviseurs sont deux faces d'une même relation : $a$ multiple de $b$ $\iff$ $b$ diviseur de $a$ .
Critères de divisibilité : par $2$ → unité paire ; par $3$ → somme des chiffres $\div 3$ ; par $5$ → unité $0$ ou $5$ ; par $9$ → somme des chiffres $\div 9$ .
Nombre premier : exactement $2$ diviseurs ( $1$ et lui-même). Attention : $1$ n'est pas premier, $2$ est le seul premier pair.
Décomposition en facteurs premiers : on divise successivement par le plus petit premier possible. Exemple : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .
PGCD : produit des facteurs premiers communs avec le plus petit exposant → sert à simplifier les fractions.
PPCM : produit des facteurs premiers avec le plus grand exposant → sert à trouver un dénominateur commun.
Fraction irréductible : $\text{PGCD}(\text{numérateur}, \text{dénominateur}) = 1$ .
Relation : $\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = a \times b$ .

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