Nombres rationnels — Comparer, additionner et soustraire des fractions
1. Rappel : qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction ba, où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul (b=0).
Exemples : 43 , 7−5 , 112=12 sont des nombres rationnels.
2. Comparer des fractions
Cas 1 : Même dénominateur
Quand deux fractions ont le même dénominateur, on compare simplement les numérateurs.
Si da et db, alors da<db⇔a<b
Exemple : 73<75 car 3<5.
Cas 2 : Dénominateurs différents
On réduit au même dénominateur en cherchant un dénominateur commun, puis on compare les numérateurs.
📐 Méthode pour comparer 32 et 85 :
Étape 1 → Trouver un dénominateur commun : 3×8=24
Étape 2 → Transformer chaque fraction :
32=3×82×8=241685=8×35×3=2415
Étape 3 → Comparer les numérateurs : 16>15
✅ Conclusion : 32>85
| Situation | Méthode | Exemple |
|---|
| Même dénominateur | Comparer les numérateurs | 94<97 car 4<7 |
| Dénominateurs différents | Réduire au même dénominateur | 21=63 et 62 → 21>62 |
| Comparer à 1 | Numérateur vs dénominateur | 35>1 car 5>3 |
3. Additionner et soustraire des fractions
Cas 1 : Même dénominateur
On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
da+db=da+bda−db=da−b
Exemple : 52+57=52+7=59
Cas 2 : Dénominateurs quelconques (différents)
⚠️ On ne peut PAS additionner directement des fractions de dénominateurs différents. Il faut d'abord les réduire au même dénominateur.
🔢 Processus complet pour calculer 43+52 :
Étape 1 → Chercher un dénominateur commun → 4×5=20
Étape 2 → Transformer les fractions ↓
43=4×53×5=2015 ⟶ 52=5×42×4=208
Étape 3 → Additionner les numérateurs ↓
2015+208=2015+8=2023
✅ Résultat : 43+52=2023
Exemple de soustraction
Calculons 65−41.
- Dénominateur commun : on peut utiliser 12 (car 6×2=12 et 4×3=12)
- 65=125×2=1210 et 41=121×3=123
- 1210−123=127
💡 Astuce : le plus petit dénominateur commun simplifie les calculs. Pour 6 et 4, on prend 12 plutôt que 24.
| Notion | Formule (LaTeX) | Exemple |
|---|
| Addition (même dénom.) | da+db=da+b | 71+74=75 |
| Soustraction (même dénom.) | da−db=da−b | 59−53=56 |
| Mise au même dénominateur | ba=b×ka×k | 32=128 (avec k=4) |
4. Résoudre des problèmes avec des fractions
Exemple de problème résolu pas à pas
Énoncé : Léa mange 31 d'une pizza, puis 41 de cette même pizza. Quelle fraction de la pizza a-t-elle mangée au total ? Quelle fraction reste-t-il ?
Partie 1 : fraction mangée
Étape 1 → Poser le calcul : 31+41
Étape 2 → Dénominateur commun : 3×4=12
Étape 3 → Transformer : 31=124 et 41=123
Étape 4 → Calculer :
124+123=127
✅ Léa a mangé 127 de la pizza.
Partie 2 : fraction restante
La pizza entière vaut 1=1212.
1212−127=125
✅ Il reste 125 de la pizza.
🍕 Schéma du problème :
Pizza entière 1212 → Léa mange 124 → Léa mange encore 123 → Reste 125
↓ Total mangé = 124+123=127 ↓
Conseils pour les problèmes
- Identifier ce qu'on cherche (un total ? un reste ?)
- Traduire l'énoncé en calcul de fractions (addition ou soustraction)
- Réduire au même dénominateur avant de calculer
- Simplifier le résultat si possible (ex. : 126=21)
📌 À retenir
- Pour comparer des fractions, on les réduit au même dénominateur puis on compare les numérateurs.
- Pour additionner ou soustraire des fractions : même dénominateur obligatoire → on calcule sur les numérateurs → on garde le dénominateur.
- La mise au même dénominateur utilise la règle : ba=b×ka×k (on multiplie en haut et en bas par le même nombre).
- Dans un problème, on traduit l'énoncé en opérations sur les fractions, puis on applique la méthode étape par étape.
- On simplifie toujours le résultat final quand c'est possible.