Nombres rationnels — Comparer, additionner et soustraire des fractions

1. Rappel : qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ est un entier relatif et $b$ est un entier relatif non nul ($b \neq 0$).

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2. Comparer des fractions

Cas 1 : Même dénominateur

Quand deux fractions ont le même dénominateur, on compare simplement les numérateurs.

$\text{Si } \frac{a}{d} \text{ et } \frac{b}{d} \text{, alors } \frac{a}{d} < \frac{b}{d} \Leftrightarrow a < b$

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Cas 2 : Dénominateurs différents

On réduit au même dénominateur en cherchant un dénominateur commun, puis on compare les numérateurs.

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📐 Méthode pour comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{8}$ :

Étape 1 → Trouver un dénominateur commun : $3 \times 8 = 24$

Étape 2 → Transformer chaque fraction : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} \qquad \frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$

Étape 3 → Comparer les numérateurs : $16 > 15$

✅ Conclusion : $\frac{2}{3} > \frac{5}{8}$

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3. Additionner et soustraire des fractions

Cas 1 : Même dénominateur

On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.

$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d} \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d}$

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Cas 2 : Dénominateurs quelconques (différents)

⚠️ On ne peut PAS additionner directement des fractions de dénominateurs différents. Il faut d'abord les réduire au même dénominateur.

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🔢 Processus complet pour calculer $\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$ :

Étape 1 → Chercher un dénominateur commun → $4 \times 5 = 20$

Étape 2 → Transformer les fractions ↓

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$ ⟶ $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$

Étape 3 → Additionner les numérateurs ↓

$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{15 + 8}{20} = \frac{23}{20}$

✅ Résultat : $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{23}{20}$

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Exemple de soustraction

Calculons $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$.

• Dénominateur commun : on peut utiliser $12$ (car $6 \times 2 = 12$ et $4 \times 3 = 12$)
• $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{12} = \frac{10}{12}$ et $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{12} = \frac{3}{12}$
• $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

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4. Résoudre des problèmes avec des fractions

Exemple de problème résolu pas à pas

Partie 1 : fraction mangée

Étape 1 → Poser le calcul : $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

Étape 2 → Dénominateur commun : $3 \times 4 = 12$

Étape 3 → Transformer : $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ et $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Étape 4 → Calculer :

$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

✅ Léa a mangé $\frac{7}{12}$ de la pizza.

Partie 2 : fraction restante

La pizza entière vaut $1 = \frac{12}{12}$.

$\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$

✅ Il reste $\frac{5}{12}$ de la pizza.

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🍕 Schéma du problème :

Pizza entière $\frac{12}{12}$ → Léa mange $\frac{4}{12}$ → Léa mange encore $\frac{3}{12}$ → Reste $\frac{5}{12}$

↓ Total mangé = $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ ↓

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Conseils pour les problèmes

• Identifier ce qu'on cherche (un total ? un reste ?)
• Traduire l'énoncé en calcul de fractions (addition ou soustraction)
• Réduire au même dénominateur avant de calculer
• Simplifier le résultat si possible (ex. : $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$)

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📌 À retenir

1. Pour comparer des fractions, on les réduit au même dénominateur puis on compare les numérateurs.
2. Pour additionner ou soustraire des fractions : même dénominateur obligatoire → on calcule sur les numérateurs → on garde le dénominateur.
3. La mise au même dénominateur utilise la règle : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ (on multiplie en haut et en bas par le même nombre).
4. Dans un problème, on traduit l'énoncé en opérations sur les fractions, puis on applique la méthode étape par étape.
5. On simplifie toujours le résultat final quand c'est possible.