Les Nombres Réels

1. Les ensembles de nombres

1.1 De ℕ à ℝ : une construction progressive

Depuis le collège, tu connais plusieurs ensembles de nombres. Chacun inclut le précédent.

On a la chaîne d'inclusions :

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Chaque ensemble contient tous les nombres du précédent, plus de nouveaux nombres :

• $\mathbb{Z}$ ajoute les négatifs à $\mathbb{N}$
• $\mathbb{D}$ ajoute les nombres à virgule finie à $\mathbb{Z}$
• $\mathbb{Q}$ ajoute les fractions à développement périodique (comme $\frac{1}{3} = 0{,}333...$)
• $\mathbb{R}$ ajoute les nombres irrationnels (comme $\sqrt{2}$, $\pi$)

---

1.2 L'ensemble $\mathbb{R}$ et la droite numérique

L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels est l'ensemble de tous les nombres qui peuvent être placés sur une droite graduée. À chaque point de la droite correspond un unique nombre réel, et réciproquement.

---

---

C'est la propriété de complétude de $\mathbb{R}$ : contrairement à $\mathbb{Q}$, la droite des réels n'a aucun « trou ». Par exemple, le point correspondant à $\sqrt{2}$ existe bien sur la droite, même si $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

---

1.3 Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ (c'est-à-dire $b \neq 0$).

Critère de reconnaissance : un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou périodique (un motif qui se répète indéfiniment).

Exemples :

• $\frac{3}{4} = 0{,}75$ → développement décimal fini → rationnel
• $\frac{1}{3} = 0{,}333...$ → développement décimal périodique (période : 3) → rationnel
• $\frac{1}{7} = 0{,}142857142857...$ → développement décimal périodique (période : 142857) → rationnel
• $5 = \frac{5}{1}$ → tout entier est rationnel

---

1.4 Nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel : il ne peut pas s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$.

Son écriture décimale est infinie et non périodique : les décimales se suivent sans jamais former de motif qui se répète.

Exemples classiques :

• $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356...$ est irrationnel (démontrable)
• $\pi \approx 3{,}14159265...$ est irrationnel
• $\sqrt{3} \approx 1{,}73205080...$ est irrationnel

Exemple géométrique 📐 : La diagonale d'un carré de côté $1$ mesure $\sqrt{2}$ (par le théorème de Pythagore : $1^2 + 1^2 = d^2$, donc $d = \sqrt{2}$). Ce nombre, bien qu'il existe géométriquement, ne peut pas s'écrire comme fraction !

---

⚠️ Attention : $\sqrt{4} = 2$ est rationnel ! Seules les racines carrées de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits sont irrationnelles. Les carrés parfaits sont $1, 4, 9, 16, 25, 36...$

---

Exercice résolu : Parmi les nombres suivants, lesquels sont rationnels ? irrationnels ?

$7 \quad ; \quad \sqrt{9} \quad ; \quad \sqrt{5} \quad ; \quad \pi \quad ; \quad -\frac{3}{4} \quad ; \quad 0{,}1717...$

• $7 = \frac{7}{1}$ → rationnel
• $\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$ → rationnel (9 est un carré parfait)
• $\sqrt{5}$ → irrationnel (5 n'est pas un carré parfait)
• $\pi$ → irrationnel (admis)
• $-\frac{3}{4} = -0{,}75$ → rationnel (c'est une fraction)
• $0{,}1717... = \frac{17}{99}$ → rationnel (développement périodique)

2. Intervalles de $\mathbb{R}$

2.1 Définitions et notations

Un intervalle est une partie de $\mathbb{R}$ constituée de tous les réels compris entre deux bornes. Les symboles $+\infty$ et $-\infty$ signifient que l'intervalle s'étend sans limite.

---

⚠️ On n'écrit jamais de crochet fermé devant $+\infty$ ou $-\infty$ car ce ne sont pas des nombres. On écrit toujours $[a\,;\,+\infty[$ et jamais $[a\,;\,+\infty]$.

---

Exemple : $x \in [-1\,;\,3[$ signifie $-1 \leqslant x < 3$. Le nombre $3$ n'appartient pas à cet intervalle, mais $-1$ oui.

---

2.2 Réunion et intersection d'intervalles

La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des réels appartenant à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).

L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des réels appartenant à $A$ et à $B$.

Exemple résolu :

Soit $A = [-3\,;\,2]$ et $B = [0\,;\,5]$.

• $A \cup B = [-3\,;\,5]$ (tous les nombres de $-3$ à $5$)
• $A \cap B = [0\,;\,2]$ (les nombres communs : de $0$ à $2$)

Exemple résolu :

Soit $C = ]-\infty\,;\,1]$ et $D = [4\,;\,+\infty[$.

• $C \cup D = ]-\infty\,;\,1] \cup [4\,;\,+\infty[$ (ne se simplifie pas en un seul intervalle car il y a un « trou » entre $1$ et $4$)
• $C \cap D = \varnothing$ (aucun nombre n'est à la fois $\leqslant 1$ et $\geqslant 4$)

3. Valeur absolue et distance

3.1 Valeur absolue

La valeur absolue d'un réel $a$, notée $|a|$, est la distance de $a$ à $0$ sur la droite numérique.

$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geqslant 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}$

La valeur absolue « efface le signe » : elle renvoie toujours un nombre positif ou nul.

Exemples : $|5| = 5$ et $|-3| = -(-3) = 3$ et $|0| = 0$.

Propriétés fondamentales :

• $|a| \geqslant 0$ pour tout réel $a$
• $|a| = 0 \iff a = 0$
• $|-a| = |a|$
• $|a \times b| = |a| \times |b|$
• $\sqrt{a^2} = |a|$ (relation très importante !)

---

3.2 Distance entre deux réels

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a - b|$.

L'ordre de soustraction n'a pas d'importance : $|a - b| = |b - a|$.

Exemples :

• Distance entre $3$ et $7$ : $|3 - 7| = |-4| = 4$
• Distance entre $-2$ et $5$ : $|-2 - 5| = |-7| = 7$
• Distance entre $-4$ et $-1$ : $|-4 - (-1)| = |-3| = 3$

---

3.3 Intervalle centré et valeur absolue

L'intervalle $[a - r\,;\,a + r]$ est centré en $a$ et de rayon $r$.

$\boxed{x \in [a - r\,;\,a + r] \iff |x - a| \leqslant r}$

Cela signifie : « $x$ est à une distance au plus $r$ de $a$ ».

---

---

Exemple résolu pas à pas :

Décrire l'ensemble des $x$ tels que $|x - 3| \leqslant 2$.

• Étape 1 → Identifier le centre $a = 3$ et le rayon $r = 2$.
• Étape 2 → Écrire l'intervalle : $[3 - 2\,;\,3 + 2] = [1\,;\,5]$.
• Étape 3 → Conclure : l'ensemble des solutions est $x \in [1\,;\,5]$.

Vérification : $x = 1 \Rightarrow |1 - 3| = 2 \leqslant 2$ ✔️ — $x = 4 \Rightarrow |4 - 3| = 1 \leqslant 2$ ✔️ — $x = 6 \Rightarrow |6 - 3| = 3 > 2$ ❌

---

3.4 Méthode : traduire un intervalle en condition avec valeur absolue

Problème : Caractériser l'intervalle $[-1\,;\,7]$ avec une valeur absolue.

1. Trouver le centre : $a = \frac{-1 + 7}{2} = 3$
2. Trouver le rayon : $r = \frac{7 - (-1)}{2} = 4$
3. Conclusion : $x \in [-1\,;\,7] \iff |x - 3| \leqslant 4$

Problème inverse : Résoudre $|x + 2| \leqslant 5$.

On réécrit : $|x - (-2)| \leqslant 5$, donc centre $a = -2$ et rayon $r = 5$.

$x \in [-2 - 5\,;\,-2 + 5] = [-7\,;\,3]$

4. Encadrements décimaux

4.1 Encadrement à $10^{-n}$ près

L'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux est l'ensemble des nombres qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule (c'est-à-dire sous la forme $\frac{a}{10^n}$).

Donner un encadrement décimal d'un réel $x$ à $10^{-n}$ près, c'est trouver deux décimaux consécutifs (distants de $10^{-n}$) qui encadrent $x$ :

$d \leqslant x < d + 10^{-n}$

L'amplitude de cet encadrement est exactement $10^{-n}$.

Exemple résolu : Encadrer $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près (au centième).

• On sait que $\sqrt{2} \approx 1{,}41421...$
• Étape 1 → Troncature au centième : $1{,}41$
• Étape 2 → On ajoute $10^{-2}$ : $1{,}42$
• Résultat : $1{,}41 \leqslant \sqrt{2} < 1{,}42$ (amplitude $0{,}01$)

---

4.2 Arrondi et chiffres significatifs

L'arrondi de $x$ à $10^{-n}$ près est le décimal à $n$ décimales le plus proche de $x$.

Règle : si le chiffre suivant est $\geqslant 5$, on arrondit au-dessus ; sinon, on garde la troncature.

Exemple : $\pi \approx 3{,}14159...$

• Arrondi à l'unité : $3$
• Arrondi au dixième : $3{,}1$
• Arrondi au centième : $3{,}14$
• Arrondi au millième : $3{,}142$ (car le chiffre suivant est $5 \geqslant 5$)

Les chiffres significatifs sont tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul. Ils indiquent la précision d'une mesure ou d'un calcul.

Exemples :

• $0{,}00342$ a 3 chiffres significatifs ($3$, $4$ et $2$)
• $2{,}50$ a 3 chiffres significatifs (le $0$ final compte)
• $1500$ peut en avoir $2$, $3$ ou $4$ selon le contexte

Règle pratique : dans un calcul, le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.

Pour une mesure physique donnée à $\pm 0{,}1$ m, on arrondit à $0{,}1$ m près (inutile de donner 10 décimales !).

---

📌 À retenir

1. $\mathbb{R}$ contient tous les nombres de la droite numérique : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
2. Les nombres irrationnels ($\sqrt{2}$, $\pi$…) ont une écriture décimale infinie non périodique et n'appartiennent pas à $\mathbb{Q}$.
3. $|a - b|$ représente la distance entre $a$ et $b$ sur la droite numérique.
4. $|x - a| \leqslant r \iff x \in [a - r\,;\,a + r]$ : intervalle centré en $a$, de rayon $r$.
5. Tout réel peut être encadré par deux décimaux aussi proches que l'on veut (à $10^{-n}$ près).
6. La relation $\sqrt{a^2} = |a|$ est fondamentale et relie racine carrée et valeur absolue.