Fiche de révision — Les nombres réels
📖 Définitions clés
| Terme | Définition |
|---|
| Nombre réel | Tout nombre associé à un point de la droite graduée. L'ensemble des réels se note R. |
| Nombre décimal | Nombre pouvant s'écrire 10na avec a∈Z et n∈N. Ensemble noté D. |
| Nombre rationnel | Nombre pouvant s'écrire qp avec p∈Z et q∈Z∗. Ensemble noté Q. |
| Nombre irrationnel | Réel qui n'est pas rationnel. Ex : 2, π. |
| Valeur absolue | ∥a∥ = distance entre a et 0 sur la droite. ∥a∥=a si a⩾0 ; ∥a∥=−a si a<0. |
| Distance entre a et b | d(a,b)=∥a−b∥ |
Inclusion des ensembles : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
📐 Formules essentielles
| Notion | Notation / Formule |
|---|
| Intervalle fermé | [a;b]={x∈R∣a⩽x⩽b} |
| Intervalle ouvert | ]a;b[={x∈R∣a<x<b} |
| Semi-ouvert | [a;b[ ou ]a;b] |
| Jusqu'à +∞ / −∞ | [a;+∞[={x∈R∣x⩾a} , ]−∞;a], etc. |
| Intervalle centré | [a−r;a+r]={x∈R∣∥x−a∥⩽r} |
| Encadrement à 10−n près | Trouver d∈D tel que d⩽x<d+10−n |
✅ Méthodes
① Passer de ∣x−a∣⩽r à un intervalle :
- Écrire −r⩽x−a⩽r
- Ajouter a partout → a−r⩽x⩽a+r
- Conclusion : x∈[a−r;a+r]
② Encadrer un réel à 10−n près (ex : π à 10−2 près) :
- Écrire les décimales jusqu'au rang n → 3,14
- L'encadrement est 3,14⩽π<3,15 (amplitude 10−2)
③ Montrer qu'un nombre est rationnel : l'écrire sous forme qp.
⚠️ Pièges à éviter
| Piège | Correction |
|---|
| Écrire [1;+∞] | +∞ n'est pas un nombre → toujours un crochet ouvert : [1;+∞[ |
| Confondre ∥−5∥=−5 | ∥−5∥=5 (toujours positif) |
| Penser que 4 est irrationnel | 4=2∈N ; seules certaines racines (ex : 2, 3) sont irrationnelles |
| Confondre arrondi et troncature | Arrondi de 3,147 à 10−2 → 3,15 ; troncature → 3,14 |
📌 À retenir
- Tout point de la droite graduée correspond à un unique réel, et réciproquement.
- ∣x−a∣⩽r⟺x∈[a−r;a+r] → centre a, rayon r.
- 2 et π sont irrationnels : on ne peut pas les écrire sous forme de fraction.
- +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels → crochet toujours ouvert de leur côté.
- N⊂Z⊂D⊂Q⊂R — chaque ensemble est inclus dans le suivant.