Les nombres réels

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Fiche de révision

Terme	Définition
Nombre réel	Tout nombre associé à un point de la droite graduée. L'ensemble des réels se note $\mathbb{R}$ .
Nombre décimal	Nombre pouvant s'écrire $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ . Ensemble noté $\mathbb{D}$ .
Nombre rationnel	Nombre pouvant s'écrire $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z}^*$ . Ensemble noté $\mathbb{Q}$ .
Nombre irrationnel	Réel qui n'est pas rationnel. Ex : $\sqrt{2}$ , $\pi$ .
Valeur absolue	$\\|a\\|$ = distance entre $a$ et $0$ sur la droite. $\\|a\\| = a$ si $a \geqslant 0$ ; $\\|a\\| = -a$ si $a < 0$ .
Distance entre $a$ et $b$	$d(a,b) = \\|a - b\\|$

Inclusion des ensembles : $\quad \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Notion	Notation / Formule
Intervalle fermé	$[a\,;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}$
Intervalle ouvert	$]a\,;b[ \;= \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$
Semi-ouvert	$[a\,;b[\;$ ou $\;]a\,;b]$
Jusqu'à $+\infty$ / $-\infty$	$[a\,;+\infty[\;=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geqslant a\}$ , $\;]-\infty\,;a]$ , etc.
Intervalle centré	$[a-r\,;\,a+r] = \{x \in \mathbb{R} \mid \\|x-a\\| \leqslant r\}$
Encadrement à $10^{-n}$ près	Trouver $d \in \mathbb{D}$ tel que $d \leqslant x < d + 10^{-n}$

① Passer de $|x - a| \leqslant r$ à un intervalle :

② Encadrer un réel à $10^{-n}$ près (ex : $\pi$ à $10^{-2}$ près) :

③ Montrer qu'un nombre est rationnel : l'écrire sous forme $\dfrac{p}{q}$ .

Piège	Correction
Écrire $[\,1\,;+\infty\,]$	$+\infty$ n'est pas un nombre → toujours un crochet ouvert : $[1\,;+\infty\,[$
Confondre $\\|-5\\|= -5$	$\\|-5\\| = 5$ (toujours positif)
Penser que $\sqrt{4}$ est irrationnel	$\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}$ ; seules certaines racines (ex : $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ ) sont irrationnelles
Confondre arrondi et troncature	Arrondi de $3{,}147$ à $10^{-2}$ → $3{,}15$ ; troncature → $3{,}14$

Tout point de la droite graduée correspond à un unique réel, et réciproquement.
$|x - a| \leqslant r \iff x \in [a-r\,;\,a+r]$ → centre $a$ , rayon $r$ .
$\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels : on ne peut pas les écrire sous forme de fraction.
$+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres réels → crochet toujours ouvert de leur côté.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — chaque ensemble est inclus dans le suivant.

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