Les Nombres Relatifs

1. Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?

Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe (+ ou −) et une partie numérique. Il peut être positif ou négatif. Les nombres relatifs permettent de représenter des valeurs en dessous de zéro.

Situations concrètes 🌡️⛰️

Les nombres relatifs servent à représenter des grandeurs pouvant être inférieures à zéro :

• 🌡️ Température : $-12°C$ signifie 12 degrés en dessous de zéro
• ⛰️ Altitude : $-350\text{ m}$ désigne 350 m sous le niveau de la mer
• 🏦 Compte bancaire : $-45\text{ €}$ signifie un découvert de 45 €

2. Opposé et valeur absolue

L'opposé d'un nombre

L'opposé d'un nombre relatif $a$ est le nombre $-a$, situé à égale distance de $0$ mais de l'autre côté sur la droite graduée.

• L'opposé de $+5$ est $-5$
• L'opposé de $-3{,}2$ est $+3{,}2$
• L'opposé de $0$ est $0$

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La valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive. On la note avec des barres : $|a|$.

| Nombre $a$ | Valeur absolue $|a|$ | Explication | |---|---|---| | $+7$ | $7$ | Distance de $+7$ à $0$ | | $-4{,}5$ | $4{,}5$ | Distance de $-4{,}5$ à $0$ | | $-13$ | $13$ | Distance de $-13$ à $0$ |

3. Repérage sur une droite graduée

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📏 Droite graduée avec nombres relatifs :

⬅️ Nombres négatifs ← Origine ($0$) → Nombres positifs ➡️

🔴 Pour placer $-2{,}5$ → on se place entre $-3$ et $-2$, au milieu.

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4. Comparer et ranger des nombres relatifs

Règles de comparaison :

• Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif : $+1 > -100$
• Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue : $+7 > +3$
• Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue : $-2 > -9$

Exemple : Ranger dans l'ordre croissant : $+3$ ; $-7$ ; $-1$ ; $0$ ; $+5$

$-7 < -1 < 0 < +3 < +5$

5. Additionner des nombres relatifs

Même signe

On additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.

$(-3) + (-5) = -(3+5) = -8$

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Signes différents

On soustrait les valeurs absolues (la plus grande moins la plus petite) et on prend le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.

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🧮 Méthode pas à pas — Exemple : Calculer $(-14) + (+9)$

Étape 1 → Repérer les signes : négatif et positif (signes différents) Étape 2 → Calculer la différence des valeurs absolues : $14 - 9 = 5$ Étape 3 → Garder le signe de la plus grande valeur absolue : $14 > 9$ donc signe $-$ Résultat → $(-14) + (+9) = -5$ ✅

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6. Soustraire des nombres relatifs

Soustraire un nombre, c'est additionner son opposé.

$a - b = a + (-b)$

Exemple résolu : Calculer $(+4) - (+7)$

$(+4) - (+7) = (+4) + (-7) = -(7 - 4) = -3$

Autre exemple : $(-6) - (-2) = (-6) + (+2) = -(6-2) = -4$

7. Simplifier l'écriture des sommes

Quand on enchaîne additions et soustractions, on peut supprimer les parenthèses et le signe $+$ devant un terme positif.

Exemple complet : Calculer $(-9) + (+3) + (-4) + (+7)$

Écriture simplifiée : $-9 + 3 - 4 + 7$

On peut regrouper : positifs → $3 + 7 = 10$ ; négatifs → $9 + 4 = 13$

$-9 + 3 - 4 + 7 = 10 - 13 = -3$

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📌 À retenir

• Un nombre relatif a un signe ($+$ ou $-$) et une valeur absolue (distance à zéro).
• L'opposé de $a$ est $-a$ ; ils sont symétriques par rapport à $0$ sur la droite graduée.
• Entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro : $-2 > -8$.
• Soustraire un nombre revient à additionner son opposé : $a - b = a + (-b)$.
• Simplifier les écritures : on supprime les parenthèses et les signes $+$ inutiles, puis on regroupe positifs et négatifs.