Notion de fonction

Ce chapitre introduit un concept fondamental en mathématiques : la fonction. C'est une notion clé qui prépare directement le lycée.

---

1. Qu'est-ce qu'une fonction ?

1.1 Définition

Une fonction $f$ est un processus qui, à chaque nombre de départ $x$, associe un unique nombre d'arrivée $f(x)$.

On note :

$f : x \longmapsto f(x)$

qui se lit « la fonction $f$ associe à $x$ le nombre $f(x)$ ».

💡 On peut penser à une machine : on entre un nombre $x$, la machine applique une règle, et elle sort un résultat $f(x)$.

---

1.2 Exemples

---

2. Image et antécédent

Ce sont les deux mots-clés du chapitre. Ils décrivent la même relation, mais dans les deux sens.

2.1 Définitions

Soit $f$ une fonction. Si $f(3) = 7$ :

• $7$ est l'image de $3$ par $f$ (le résultat).
• $3$ est un antécédent de $7$ par $f$ (le nombre de départ).

---

2.2 Propriété essentielle

Exemple avec $f(x) = x^2$ :

• L'image de $3$ est $9$ (unique).
• Le nombre $9$ a deux antécédents : $3$ et $-3$ (car $f(3) = 9$ et $f(-3) = 9$).
• Le nombre $-4$ n'a aucun antécédent (car un carré est toujours positif ou nul).

---

2.3 Comment calculer une image ?

On remplace $x$ par la valeur donnée dans la formule.

Exemple : Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$. Calculer $f(4)$.

$f(4) = 3 \times 4^2 - 2 \times 4 + 5 = 3 \times 16 - 8 + 5 = 48 - 8 + 5 = 45$

L'image de $4$ par $f$ est $45$.

---

2.4 Comment trouver un antécédent ?

On résout l'équation $f(x) = k$, où $k$ est le nombre dont on cherche l'antécédent.

Exemple : Soit $f(x) = 2x + 1$. Trouver l'antécédent de $9$.

On résout $f(x) = 9$ : $2x + 1 = 9 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$

L'antécédent de $9$ par $f$ est $4$.

---

3. Les trois représentations d'une fonction

Une même fonction peut être décrite de trois façons différentes. L'élève doit savoir passer de l'une à l'autre.

3.1 Par une formule

C'est l'expression algébrique : $f(x) = 2x + 1$.

Elle permet de calculer l'image de n'importe quel nombre.

---

3.2 Par un tableau de valeurs

On choisit quelques valeurs de $x$ et on calcule les images correspondantes.

Tableau de valeurs de $f(x) = 2x + 1$ :

---

3.3 Par une courbe (représentation graphique)

On place les couples $(x\;;\;f(x))$ du tableau dans un repère et on relie les points.

---

4. Lecture graphique

Savoir lire un graphique est une compétence essentielle du brevet.

4.1 Lire une image sur un graphique

Objectif : connaissant $x$, trouver $f(x)$.

Méthode :

1. Partir de $x$ sur l'axe des abscisses (horizontal).
2. Monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe.
3. Aller horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées (vertical).
4. Lire la valeur : c'est $f(x)$.

---

4.2 Lire un antécédent sur un graphique

Objectif : connaissant $y$, trouver les $x$ tels que $f(x) = y$.

Méthode :

1. Partir de $y$ sur l'axe des ordonnées (vertical).
2. Tracer la droite horizontale $y = k$.
3. Repérer les points d'intersection avec la courbe.
4. Descendre verticalement pour lire les abscisses : ce sont les antécédents.

---

4.3 Résoudre $f(x) = k$ graphiquement

C'est exactement la lecture d'antécédents : on trace $y = k$ et on lit les abscisses des intersections.

Exemple : Résoudre graphiquement $f(x) = 5$ pour $f(x) = 2x + 1$ :

• On trace la droite $y = 5$.
• Elle coupe la droite de $f$ en un seul point d'abscisse $x = 2$.
• Vérification : $f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5$ ✅

---

5. La fonction carré

5.1 Définition

La fonction carré associe à tout nombre $x$ son carré $x^2$ :

$f(x) = x^2$

---

5.2 Tableau de valeurs

💡 On remarque que $f(-3) = f(3) = 9$ : des nombres opposés ont la même image.

---

5.3 Courbe : la parabole

La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole.

---

5.4 Propriétés de la parabole

---

5.5 Exemple de lecture graphique avec la fonction carré

Résoudre graphiquement $x^2 = 4$.

• On trace la droite $y = 4$.
• Elle coupe la parabole en deux points : $(-2\;;\;4)$ et $(2\;;\;4)$.
• Les solutions sont $x = -2$ et $x = 2$.

Résoudre graphiquement $x^2 = 0$.

• La droite $y = 0$ est l'axe des abscisses.
• Il touche la parabole en un seul point : le sommet $(0\;;\;0)$.
• La seule solution est $x = 0$.

Résoudre graphiquement $x^2 = -1$.

• La droite $y = -1$ est en dessous de la parabole.
• Aucune intersection → aucune solution.

---

6. Résumé : les questions types au brevet

---

📌 À retenir

1. Fonction : une machine qui à chaque nombre $x$ associe un unique résultat $f(x)$.

2. Image = le résultat (unique). Antécédent = le nombre de départ (peut être multiple ou inexistant).

3. Trois représentations : formule, tableau de valeurs, courbe. Savoir passer de l'une à l'autre.

4. Lecture graphique : image → trajet vertical puis horizontal. Antécédent → tracer $y = k$ et lire les abscisses des intersections.

5. Fonction carré $f(x) = x^2$ : parabole de sommet $O$, symétrique, décroissante à gauche, croissante à droite.

6. Un nombre positif a deux antécédents par la fonction carré ($\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$). Un négatif n'en a aucun.