Ce chapitre introduit un concept fondamental en mathématiques : la fonction. C'est une notion clé qui prépare directement le lycée.
1. Qu'est-ce qu'une fonction ?
1.1 Définition
Une fonction f est un processus qui, à chaque nombre de départ x, associe un unique nombre d'arrivée f(x).
On note :
f:x⟼f(x)
qui se lit « la fonction f associe à x le nombre f(x) ».
💡 On peut penser à une machine : on entre un nombre x, la machine applique une règle, et elle sort un résultat f(x).
1.2 Exemples
Fonction
Règle
f(2)
f(−3)
f(0)
f(x)=2x+1
« Doubler et ajouter 1 »
5
−5
1
g(x)=x2
« Élever au carré »
4
9
0
h(x)=3x−7
« Tripler et retrancher 7 »
−1
−16
−7
2. Image et antécédent
Ce sont les deux mots-clés du chapitre. Ils décrivent la même relation, mais dans les deux sens.
2.1 Définitions
Soit f une fonction. Si f(3)=7 :
7 est l'image de 3 par f (le résultat).
3 est un antécédent de 7 par f (le nombre de départ).
2.2 Propriété essentielle
Image
Antécédent
Unicité
Un nombre a une seule image
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun
Exemple avec f(x)=x2 :
L'image de 3 est 9 (unique).
Le nombre 9 a deux antécédents : 3 et −3 (car f(3)=9 et f(−3)=9).
Le nombre −4 n'a aucun antécédent (car un carré est toujours positif ou nul).
2.3 Comment calculer une image ?
On remplace x par la valeur donnée dans la formule.
Exemple : Soit f(x)=3x2−2x+5. Calculer f(4).
f(4)=3×42−2×4+5=3×16−8+5=48−8+5=45
L'image de 4 par f est 45.
2.4 Comment trouver un antécédent ?
On résout l'équation f(x)=k, où k est le nombre dont on cherche l'antécédent.
Exemple : Soit f(x)=2x+1. Trouver l'antécédent de 9.
On résout f(x)=9 :
2x+1=9⇒2x=8⇒x=4
L'antécédent de 9 par f est 4.
3. Les trois représentations d'une fonction
Une même fonction peut être décrite de trois façons différentes. L'élève doit savoir passer de l'une à l'autre.
3.1 Par une formule
C'est l'expression algébrique : f(x)=2x+1.
Elle permet de calculer l'image de n'importe quel nombre.
3.2 Par un tableau de valeurs
On choisit quelques valeurs de x et on calcule les images correspondantes.
Tableau de valeurs de f(x)=2x+1 :
x
−2
−1
0
1
2
3
f(x)
−3
−1
1
3
5
7
3.3 Par une courbe (représentation graphique)
On place les couples (x;f(x)) du tableau dans un repère et on relie les points.
4. Lecture graphique
Savoir lire un graphique est une compétence essentielle du brevet.
4.1 Lire une image sur un graphique
Objectif : connaissant x, trouver f(x).
Méthode :
Partir de x sur l'axe des abscisses (horizontal).
Monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe.
Aller horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées (vertical).
Lire la valeur : c'est f(x).
4.2 Lire un antécédent sur un graphique
Objectif : connaissant y, trouver les x tels que f(x)=y.
Méthode :
Partir de y sur l'axe des ordonnées (vertical).
Tracer la droite horizontaley=k.
Repérer les points d'intersection avec la courbe.
Descendre verticalement pour lire les abscisses : ce sont les antécédents.
4.3 Résoudre f(x)=k graphiquement
C'est exactement la lecture d'antécédents : on trace y=k et on lit les abscisses des intersections.
Exemple : Résoudre graphiquement f(x)=5 pour f(x)=2x+1 :
On trace la droite y=5.
Elle coupe la droite de f en un seul point d'abscisse x=2.
Vérification :f(2)=2×2+1=5 ✅
5. La fonction carré
5.1 Définition
La fonction carré associe à tout nombre x son carré x2 :
f(x)=x2
5.2 Tableau de valeurs
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
x2
9
4
1
0
1
4
9
💡 On remarque que f(−3)=f(3)=9 : des nombres opposés ont la même image.
5.3 Courbe : la parabole
La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole.
5.4 Propriétés de la parabole
Propriété
Détail
Sommet
Le point le plus bas est O(0;0)
Symétrie
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : f(−x)=f(x)
Variations
Décroissante pour x<0, croissante pour x>0
Antécédents
Tout nombre positif a deux antécédents opposés (ex : 9 a pour antécédents 3 et −3). Le nombre 0 a un seul antécédent (0). Un nombre négatif n'a aucun antécédent.
5.5 Exemple de lecture graphique avec la fonction carré
Résoudre graphiquement x2=4.
On trace la droite y=4.
Elle coupe la parabole en deux points : (−2;4) et (2;4).
Les solutions sont x=−2 et x=2.
Résoudre graphiquement x2=0.
La droite y=0 est l'axe des abscisses.
Il touche la parabole en un seul point : le sommet (0;0).
La seule solution est x=0.
Résoudre graphiquement x2=−1.
La droite y=−1 est en dessous de la parabole.
Aucune intersection → aucune solution.
6. Résumé : les questions types au brevet
Question posée
Ce qu'il faut faire
« Calculer f(3) »
Remplacer x par 3 dans la formule → image
« Trouver le(s) antécédent(s) de 5 »
Résoudre f(x)=5 → équation
« Lire graphiquement l'image de 2 »
Partir de x=2, monter jusqu'à la courbe, lire sur l'axe y
« Lire graphiquement les antécédents de 3 »
Tracer y=3, lire les abscisses des intersections
« Résoudre f(x)=g(x) graphiquement »
Lire les abscisses des intersections des deux courbes
« Résoudre f(x)>2 graphiquement »
Chercher les zones où la courbe est au-dessus de y=2
📌 À retenir
Fonction : une machine qui à chaque nombre x associe un unique résultat f(x).
Image = le résultat (unique). Antécédent = le nombre de départ (peut être multiple ou inexistant).
Trois représentations : formule, tableau de valeurs, courbe. Savoir passer de l'une à l'autre.
Lecture graphique : image → trajet vertical puis horizontal. Antécédent → tracer y=k et lire les abscisses des intersections.
Fonction carréf(x)=x2 : parabole de sommet O, symétrique, décroissante à gauche, croissante à droite.
Un nombre positif a deux antécédents par la fonction carré (a et −a). Un négatif n'en a aucun.
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