Ondes mécaniques

Un caillou tombe dans l'eau : des rides circulaires s'éloignent, mais le bouchon qui flotte plus loin ne fait que monter et descendre sur place. Une secousse au fond de la mer déclenche un tsunami qui traverse un océan. Un orchestre joue : l'air transmet la musique jusqu'à nos oreilles. Dans tous ces cas, une perturbation se propage dans un milieu matériel sans transporter de matière : c'est une onde mécanique progressive. Ce chapitre décrit ces ondes, définit leur célérité, le retard avec lequel elles arrivent, puis étudie les ondes périodiques et leur double périodicité, dans le temps et dans l'espace.

1. Onde mécanique progressive

1.1 Définition

Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel (corde, ressort, eau, air, roche), avec transport d'énergie mais sans transport de matière : chaque point du milieu, après le passage de l'onde, revient à sa position initiale.

• Onde transversale : la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation (corde secouée, houle, ondes sismiques S).
• Onde longitudinale : la perturbation est parallèle à la direction de propagation (ressort comprimé, son, ondes sismiques P).

1.2 Modèle qualitatif de la propagation

Chaque portion du milieu est liée à ses voisines. Lorsqu'une portion est écartée de sa position d'équilibre, elle entraîne la suivante, avec un léger décalage, puis revient à sa place : la perturbation se transmet de proche en proche. Le son est ainsi une succession de compressions et de dilatations de l'air qui se propagent depuis la source vibrante (membrane de haut-parleur, corde de guitare). Il n'y a pas de son dans le vide, faute de milieu.

Exemples. Houle (surface de l'eau), ondes sismiques (roche), son (air, eau, solides), onde le long d'une corde de guitare ou d'un ressort.

2. Célérité et retard

2.1 Célérité

La célérité $v$ d'une onde est la vitesse à laquelle la perturbation se propage. Si la perturbation parcourt la distance $d$ pendant la durée $\Delta t$ :

$v = \frac{d}{\Delta t} \qquad v \text{ en m}\cdot\text{s}^{-1},\ d \text{ en m},\ \Delta t \text{ en s}$

La célérité dépend du milieu (nature, température, tension d'une corde) et pas de la source : le son se propage à $340$ m·s⁻¹ dans l'air à $20$ °C, $1\,500$ m·s⁻¹ dans l'eau, $5\,000$ m·s⁻¹ dans l'acier ; une onde va plus vite sur une corde plus tendue.

2.2 Retard

Un point M situé à la distance $d$ de la source reçoit la perturbation avec un retard

$\tau = \frac{d}{v}$

par rapport à l'instant où elle a été émise (ou par rapport à un point plus proche). Le retard permet de localiser une source ou de mesurer une distance :

• Orage : la lumière de l'éclair arrive quasi instantanément ; le tonnerre arrive $\tau$ secondes plus tard : $d = v \tau$, soit environ $1$ km par $3$ s.
• Sonar, échographie : une impulsion ultrasonore fait l'aller-retour vers un obstacle en $\tau$ : $d = \dfrac{v \tau}{2}$.
• Sismologie : les ondes P ($6$ km·s⁻¹) devancent les ondes S ($3{,}5$ km·s⁻¹) ; l'écart d'arrivée donne la distance de l'épicentre.

Mesurer une célérité. Deux microphones distants de $d$ reliés à une carte d'acquisition (ou un smartphone) enregistrent un claquement de mains : le décalage $\tau$ entre les deux signaux donne $v = d/\tau$. Pour $d = 1{,}70$ m, on mesure $\tau = 5{,}0$ ms : $v = 3{,}4 \times 10^2$ m·s⁻¹.

3. Ondes périodiques

3.1 Double périodicité

Lorsque la source vibre de façon périodique (diapason, vibreur d'une cuve à ondes), l'onde est périodique : la perturbation se répète identiquement à intervalles réguliers. Elle possède une double périodicité :

• périodicité temporelle : en un point donné, la perturbation se reproduit toutes les $T$ secondes ; $T$ est la période (s), $f = 1/T$ la fréquence (Hz), imposées par la source ;
• périodicité spatiale : à un instant donné, le motif se répète à intervalles réguliers le long de la direction de propagation ; la distance entre deux motifs consécutifs (deux crêtes, deux compressions) est la longueur d'onde $\lambda$ (m).

3.2 Relation entre $\lambda$, $T$ et $v$

Pendant une période $T$, la source effectue une oscillation complète et l'onde avance d'une longueur d'onde à la célérité $v$. La longueur d'onde est donc la distance parcourue par l'onde pendant une période :

$\lambda = v \, T = \frac{v}{f}$

$\lambda$ dépend à la fois de la source (par $T$) et du milieu (par $v$). Pour une fréquence donnée, l'onde est plus « étirée » dans un milieu où elle va plus vite.

Exemples. Note la $440$ Hz dans l'air : $\lambda = 340/440 = 0{,}77$ m ; ultrasons de $40$ kHz : $8{,}5$ mm ; houle de période $8$ s à $10$ m·s⁻¹ : $80$ m.

3.3 Ondes sinusoïdales

Une onde est sinusoïdale lorsque la perturbation en chaque point est une fonction sinusoïdale du temps : $y(t) = A \cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$, où $A$ est l'amplitude. C'est le cas d'un son pur (diapason). Un son complexe (instrument) est périodique mais non sinusoïdal ; il se décompose en sons purs.

3.4 Lire les deux représentations

La représentation spatiale est illustrée dans l'animation ci-dessus (courbe bleue) : la distance entre deux crêtes est $\lambda$. Attention à ne pas confondre : sur un graphe en fonction de $x$, la distance entre deux crêtes est $\lambda$ ; sur un graphe en fonction de $t$, c'est $T$.

4. Représenter et simuler une onde avec un programme

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A = 2.0        # amplitude (cm)
T = 0.50       # période (s)
v = 1.6        # célérité (m/s)
lam = v * T    # longueur d'onde (m)

x = np.linspace(0, 2, 400)
for t in [0, 0.10, 0.20]:                      # trois instants
    y = A * np.cos(2 * np.pi * (t / T - x / lam))
    plt.plot(x, y, label=f"t = {t} s")
plt.xlabel("x (m)"); plt.ylabel("y (cm)"); plt.legend(); plt.show()

Le motif se décale de $v \times 0{,}10 = 0{,}16$ m entre deux instants : c'est la propagation. Modifier A change la hauteur des crêtes sans changer $\lambda$ ; modifier T change $\lambda = vT$.

5. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Dans une cuve à ondes, un vibreur de fréquence $f = 20$ Hz crée des rides à la surface de l'eau. Sur une photographie à l'échelle $1$, on mesure $8{,}0$ cm entre la première et la cinquième crête. Un capteur placé à $12$ cm du vibreur enregistre la perturbation.

a) Déterminer la longueur d'onde. b) Calculer la célérité des ondes. c) Calculer le retard avec lequel le capteur reçoit la perturbation. d) Que devient $\lambda$ si l'on double la fréquence ?

Résolution.

a) Entre la première et la cinquième crête, il y a $4$ longueurs d'onde : $\lambda = \dfrac{8{,}0}{4} = 2{,}0$ cm.

b) $v = \lambda f = 2{,}0 \times 10^{-2} \times 20 = 0{,}40$ m·s⁻¹.

c) $\tau = \dfrac{d}{v} = \dfrac{0{,}12}{0{,}40} = 0{,}30$ s.

d) La célérité ne dépend que du milieu (elle reste $0{,}40$ m·s⁻¹) : $\lambda = v/f$ est divisée par $2$, soit $1{,}0$ cm.

🎯 Rédiger. Distinguer toujours ce qui dépend de la source ($T$, $f$) de ce qui dépend du milieu ($v$) ; compter les longueurs d'onde entre crêtes (n crêtes = n − 1 longueurs d'onde) ; convertir cm en m et ms en s avant d'appliquer $v = d/\tau$ ou $\lambda = vT$.

📌 À retenir

1. Onde mécanique progressive : propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d'énergie, sans transport de matière ; transversale ou longitudinale (son).
2. Célérité $v = d/\Delta t$, propre au milieu ; retard $\tau = d/v$ (localisation d'une source, sonar avec aller-retour).
3. Onde périodique : période $T$ (temporelle, imposée par la source) et longueur d'onde $\lambda$ (spatiale).
4. $\lambda = v T = v/f$ : distance parcourue pendant une période.
5. Représentation spatiale ($\lambda$ entre deux crêtes) et temporelle ($T$ entre deux maxima) ; onde sinusoïdale d'amplitude $A$.