Opérations — Nombres et calculs (5ème)

1. Vocabulaire des opérations

Distinguer sommes et produits

• Une somme est le résultat d'une addition. Les nombres qu'on additionne s'appellent les termes.
• Un produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres qu'on multiplie s'appellent les facteurs.

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2. Priorités opératoires

Les règles à connaître

Règle 1 : Les calculs entre parenthèses sont toujours effectués en premier.

Règle 2 : Sans parenthèses, les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

Règle 3 : Si les opérations ont la même priorité, on calcule de gauche à droite.

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🔢 Ordre de priorité :

📌 Parenthèses → 🔶 $\times$ et $\div$ → 🔷 $+$ et $-$

⬇️ On traite d'abord ce qui est le plus prioritaire

Exemple résolu pas à pas

Calculer $A = 4 + 3 \times (7 - 2)$

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3. Traduire un problème en une seule expression

On peut enchaîner des opérations en écrivant une seule expression, avec ou sans parenthèses.

Problème : Jules achète $3$ cahiers à $2{,}50$ € et $1$ stylo à $1{,}80$ €. Quel est le prix total ?

• Expression : $P = 3 \times 2{,}50 + 1{,}80$
• Calcul : $P = 7{,}50 + 1{,}80 = 9{,}30$ €

Autre problème : On partage $120$ € entre $4$ amis, puis chacun dépense $5$ €. Combien reste-t-il à chacun ?

• Expression avec parenthèses : pas nécessaire ici car la division est prioritaire.
• $R = 120 \div 4 - 5 = 30 - 5 = 25$ €

Si on veut d'abord soustraire puis diviser, il faut des parenthèses : $(120 - 20) \div 4$.

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4. Diviser par un nombre décimal

Méthode : Pour diviser par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par $10$, $100$… afin que le diviseur devienne un nombre entier.

Exemple résolu pas à pas

Calculer $B = 15{,}6 \div 1{,}2$

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5. La distributivité simple

La distributivité permet de développer ou factoriser une expression.

$k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ $k \times (a - b) = k \times a - k \times b$

Astuce calcul mental : $6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588$

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6. Multiples et diviseurs

Définitions

• $a$ est un multiple de $b$ si $a = b \times k$ (avec $k$ entier). Exemple : $24$ est un multiple de $6$ car $24 = 6 \times 4$.
• $b$ est un diviseur de $a$ si la division $a \div b$ tombe juste (reste $= 0$). Exemple : $6$ est un diviseur de $24$.

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🔄 Lien multiples ↔ diviseurs :

$24 = 6 \times 4$

⬇️

$24$ est multiple de $6$ → $6$ est diviseur de $24$

$24$ est multiple de $4$ → $4$ est diviseur de $24$

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Critères de divisibilité par 3 et par 9

Exemple : Le nombre $245$ est-il divisible par $3$ ? par $9$ ?

Rappels utiles : un nombre est divisible par $2$ s'il est pair, par $5$ s'il finit par $0$ ou $5$, par $10$ s'il finit par $0$.

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📌 À retenir

1. Priorités : les parenthèses d'abord, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.
2. Somme = addition (termes) ; Produit = multiplication (facteurs).
3. Diviser par un décimal : on rend le diviseur entier en multipliant les deux nombres par $10$, $100$…
4. Distributivité : $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ — utile en calcul mental !
5. Divisibilité par 3 (ou 9) : on additionne les chiffres et on vérifie si cette somme est divisible par $3$ (ou $9$).