Les Parallélogrammes

1. Définition et construction

Un parallélogramme est un quadrilatère (figure à 4 côtés) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Dans un parallélogramme $ABCD$ : $(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$.

---

📐 Représentation d'un parallélogramme $ABCD$

$(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$

Comment construire un parallélogramme ?

Étape 1 → Tracer un segment $[AB]$ Étape 2 → Placer un point $D$ quelconque (pas sur la droite $(AB)$) Étape 3 → Tracer la parallèle à $(AB)$ passant par $D$ Étape 4 → Tracer la parallèle à $(AD)$ passant par $B$ Étape 5 → Le point d'intersection $C$ donne le parallélogramme $ABCD$ ✅

---

2. Propriétés du parallélogramme

Propriétés des côtés et des angles

• Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : $AB = DC$ et $AD = BC$
• Les angles opposés sont égaux : $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$

---

Propriété des diagonales

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Si $O$ est le point d'intersection de $[AC]$ et $[BD]$, alors : $OA = OC$ et $OB = OD$.

---

3. Les parallélogrammes particuliers

---

🔷 Schéma récapitulatif : qui est quoi ?

Le carré est à la fois un rectangle et un losange ! 🎯

---

Exemple d'utilisation des propriétés

$EFGH$ est un parallélogramme avec $EF = 7$ cm et $EH = 4$ cm. Que valent $FG$ et $GH$ ?

---

4. Aire d'un parallélogramme

Formule

$\boxed{\mathcal{A} = b \times h}$

où $b$ est la base et $h$ est la hauteur (distance perpendiculaire entre les deux côtés parallèles servant de base).

⚠️ Attention : la hauteur $h$ n'est pas un côté du parallélogramme (sauf pour le rectangle).

---

📏 Visualisation de la hauteur

---

Exemple résolu pas à pas

Un parallélogramme $ABCD$ a une base $DC = 8$ cm et une hauteur $h = 5$ cm. Calculer son aire.

Étape 1 → Identifier : $b = 8$ cm, $h = 5$ cm Étape 2 → Appliquer la formule : $\mathcal{A} = b \times h$ Étape 3 → Calculer : $\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40$ cm²

---

Aire de figures complexes

Pour calculer l'aire d'une figure composée, on la décompose en figures simples (parallélogrammes, rectangles, triangles), puis on additionne (ou soustrait) les aires.

Exemple : une figure formée d'un rectangle ($6 \times 3 = 18$ cm²) et d'un parallélogramme ($4 \times 3 = 12$ cm²) a pour aire totale : $18 + 12 = 30$ cm².

---

5. Conversions d'unités

Longueurs

Pour passer d'une unité à la suivante (vers la droite) : on multiplie par $10$.

---

Aires

Pour les aires, chaque colonne vaut deux zéros, donc on multiplie ou divise par $100$ entre deux unités consécutives.

---

📌 À retenir

1. Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et ses diagonales se coupent en leur milieu.
2. Le rectangle (4 angles droits), le losange (4 côtés égaux) et le carré (les deux) sont des parallélogrammes particuliers.
3. Aire du parallélogramme : $\mathcal{A} = b \times h$ (base × hauteur perpendiculaire).
4. Pour les conversions d'aires, on multiplie ou divise par $100$ entre deux unités consécutives (et non par $10$).
5. Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu.