Parallélogrammes et translations

1. Qu'est-ce qu'une translation ?

1.1 Définition

Une translation est une transformation géométrique qui « glisse » tous les points d'une figure dans la même direction, le même sens et la même distance, sans tourner ni déformer. On dit qu'elle est définie par un vecteur de translation.

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1.2 Comment décrire une translation ?

Une translation est caractérisée par trois éléments :

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1.3 Image d'un point par une translation

Si $A$ est un point et qu'on lui applique une translation, on obtient son image $A'$. On écrit :

$A \xrightarrow{\text{translation}} A'$

Règle fondamentale : pour tous les points, le déplacement est identique. Si $A$ se déplace vers $A'$ et $B$ vers $B'$, alors les segments $[AA']$ et $[BB']$ ont même longueur, même direction et même sens.

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📐 Schéma : effet d'une translation sur un triangle

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2. Le lien avec les parallélogrammes

2.1 Translation et parallélogramme

Propriété clé : si $A'$ est l'image de $A$ et $B'$ est l'image de $B$ par une même translation, alors $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Pourquoi ? Car par définition de la translation :

• $(AA') \parallel (BB')$ → même direction
• $AA' = BB'$ → même distance

Ce sont exactement les conditions pour former un parallélogramme !

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2.2 Réciproquement : du parallélogramme à la translation

Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors il existe une translation qui transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D$.

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2.3 Lien avec les angles

Quand une droite coupe deux droites parallèles, on obtient des angles égaux (alternes-internes, correspondants). La translation conservant le parallélisme, elle conserve aussi les angles.

3. Propriétés de conservation de la translation

C'est la grande force de la translation : elle ne déforme rien. Voici tout ce qu'elle conserve :

L'image d'un segment est un segment de même longueur. L'image d'un cercle est un cercle de même rayon. L'image d'une droite est une droite parallèle.

4. Méthode : construire l'image d'un point par une translation

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🔺 Processus de construction pas à pas

Étape 1 → Identifier le vecteur de translation (donné par deux points, ex : de $M$ vers $N$)

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Étape 2 → Depuis le point $A$, tracer une droite parallèle à $(MN)$

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Étape 3 → Reporter la longueur $MN$ dans le même sens que de $M$ vers $N$

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Étape 4 → Le point obtenu est $A'$, image de $A$. Vérifier que $MNA'A$ forme un parallélogramme ✅

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5. Exemple numérique résolu pas à pas

📏 Énoncé : Sur un quadrillage, $A(1\,;\,2)$ et la translation amène le point $M(0\,;\,0)$ en $N(3\,;\,1)$. Trouver $A'$, image de $A$.

Étape 1 : On calcule le déplacement de la translation : $\text{En } x : 3 - 0 = +3 \qquad \text{En } y : 1 - 0 = +1$

Étape 2 : On applique le même déplacement à $A(1\,;\,2)$ : $x_{A'} = 1 + 3 = 4 \qquad y_{A'} = 2 + 1 = 3$

Étape 3 : Donc $A'(4\,;\,3)$.

Vérification : $MNA'A$ est-il un parallélogramme ?

• $MA = \sqrt{1^2+2^2}$ et $NA' = \sqrt{1^2+2^2}$ ✅ (côtés opposés égaux)
• $(MN) \parallel (AA')$ car même déplacement $(+3\,;\,+1)$ ✅

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📌 À retenir

• Une translation fait glisser toutes les figures dans la même direction, le même sens et sur la même distance, sans déformation.
• Si $A \to A'$ et $B \to B'$ par la même translation, alors $ABB'A'$ est un parallélogramme.
• La translation conserve : les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme et les aires.
• Construire une image par translation, c'est compléter un parallélogramme.
• L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle à la droite de départ.