Modéliser le Hasard et Calculer des Probabilités

1. Vocabulaire des probabilités

1.1 Expérience aléatoire et univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues (résultats possibles) de l'expérience.

Exemples :

• Lancer un dé à 6 faces : $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$
• Lancer une pièce : $\Omega = \{P\,;\,F\}$ (Pile ou Face)
• Tirer une carte dans un jeu de 32 : $\Omega$ contient les 32 cartes

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1.2 Événements

Un événement est une partie (sous-ensemble) de l'univers $\Omega$.

• L'événement certain est $\Omega$ (il se réalise toujours)
• L'événement impossible est $\varnothing$ (il ne se réalise jamais)
• Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule issue

Exemple : Pour un dé à 6 faces :

• $A$ = « obtenir un nombre pair » = $\{2\,;\,4\,;\,6\}$
• $B$ = « obtenir un nombre supérieur à 4 » = $\{5\,;\,6\}$

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1.3 Opérations sur les événements

Exemple : Avec le dé :

• $A \cup B = \{2\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ (pair ou $> 4$)
• $A \cap B = \{6\}$ (pair et $> 4$)
• $\bar{A} = \{1\,;\,3\,;\,5\}$ (nombre impair)

Deux événements sont incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si $A \cap B = \varnothing$.

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2. Probabilités

2.1 Loi de probabilité

Une loi de probabilité (ou distribution) sur $\Omega$ associe à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i = P(\{\omega_i\})$ vérifiant :

1. $0 \leqslant p_i \leqslant 1$ pour chaque issue
2. La somme de toutes les probabilités vaut $1$ : $\sum p_i = 1$

Exemple : Dé équilibré à 6 faces → chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$.

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2.2 Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités de ses issues :

$P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})$

Exemple : $P(\text{pair}) = P(\{2\}) + P(\{4\}) + P(\{6\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

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2.3 Équiprobabilité

En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) :

$\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}}$

Exemple : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32. $P(\text{roi}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

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2.4 Propriétés fondamentales

• $P(\Omega) = 1$ et $P(\varnothing) = 0$
• $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$
• Complémentaire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

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2.5 Formule de la réunion

$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

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⚠️ On soustrait $P(A \cap B)$ pour ne pas compter deux fois les issues qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.

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Exemple résolu : On lance un dé. $A$ = « obtenir un multiple de $2$ » et $B$ = « obtenir un multiple de $3$ ».

$A = \{2\,;\,4\,;\,6\}$, $B = \{3\,;\,6\}$, $A \cap B = \{6\}$.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Vérification : $A \cup B = \{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}$ → $P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ✔️

3. Dénombrement

3.1 Tableaux à double entrée

Pour une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée permet de lister toutes les issues.

Exemple : On lance un dé et une pièce simultanément.

Nombre total d'issues : $6 \times 2 = 12$.

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3.2 Arbres de probabilités

Un arbre permet de représenter les issues d'une expérience à plusieurs épreuves successives.

Règles de lecture :

• La probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long des branches
• La probabilité d'un événement = somme des probabilités de tous les chemins qui réalisent cet événement

Exemple résolu : On tire deux billes successivement (avec remise) dans une urne contenant $3$ rouges et $2$ bleues.

$P(\text{rouge}) = \frac{3}{5}$ et $P(\text{bleue}) = \frac{2}{5}$.

• $P(\text{2 rouges}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$
• $P(\text{1 rouge puis 1 bleue}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$
• $P(\text{au moins 1 rouge}) = 1 - P(\text{0 rouge}) = 1 - \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

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3.3 Principe multiplicatif

Si une expérience comporte $k$ épreuves successives avec $n_1, n_2, ..., n_k$ issues possibles à chaque épreuve, le nombre total d'issues est :

$n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$

Exemple : Un code est formé de $2$ lettres puis $3$ chiffres. Nombre de codes possibles : $26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 = 676\,000$.

4. Construire un modèle probabiliste

4.1 Modèles théoriques de référence

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4.2 Modèle à partir de fréquences observées

Quand on ne connaît pas les probabilités théoriques, on peut estimer la probabilité d'un événement par sa fréquence observée sur un grand nombre d'expériences.

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⚠️ Modèle ≠ réalité : un modèle probabiliste est une approximation de la réalité. La fréquence observée peut différer de la probabilité théorique, surtout si le nombre d'expériences est petit.

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Exemple : On lance une punaise $100$ fois : elle tombe « pointe en l'air » $62$ fois. On modélise $P(\text{pointe en l'air}) \approx 0{,}62$.

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📌 À retenir

1. L'univers $\Omega$ = ensemble de toutes les issues possibles.
2. $P(A) = \sum P(\text{issues de } A)$. En équiprobabilité : $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$.
3. Complémentaire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
4. Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
5. Arbre : probabilité d'un chemin = produit des branches ; probabilité d'un événement = somme des chemins.
6. On distingue modèle (théorique) et fréquence observée (expérimental).