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Ce chapitre approfondit les probabilités vues en 5ème-4ème. On apprend à calculer avec les événements contraires, la formule de la réunion, les expériences à deux épreuves et la stabilisation des fréquences.
| Notion | Définition | Exemple (dé à 6 faces) |
|---|---|---|
| Expérience aléatoire | Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat | Lancer un dé |
| Issue | Un résultat possible | , , , , ou |
| Événement | Ensemble d'une ou plusieurs issues | « Obtenir un nombre pair » = |
| Probabilité | Nombre entre et mesurant la chance que se réalise |
Quand toutes les issues ont la même chance de se réaliser :
Exemples :
L'événement contraire de , noté , est l'événement « ne se réalise pas ». Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans .
C'est logique : soit se réalise, soit il ne se réalise pas. Les deux couvrent toutes les possibilités, donc leurs probabilités s'ajoutent à .
💡 L'événement contraire est souvent plus simple à calculer que l'événement direct, surtout avec les mots « au moins un ».
Exemple : On lance un dé deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
Calculer directement « au moins un 6 » est compliqué (il faut compter les cas : un seul 6, ou deux 6). C'est plus simple de passer par le contraire :
Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils n'ont aucune issue en commun.
Exemple : Sur un dé, « obtenir » et « obtenir » sont incompatibles — on ne peut pas obtenir les deux à la fois.
Contre-exemple : « Obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre » ne sont pas incompatibles, car le et le appartiennent aux deux.
Si et sont incompatibles :
Exemple :
| Notation | Nom | Signification | En langage courant |
|---|---|---|---|
| Réunion | ou (ou les deux) | « Au moins un des deux se réalise » | |
| Intersection | et en même temps | « Les deux se réalisent » |
Pourquoi le ? Quand on additionne et , les issues qui sont dans et dans à la fois sont comptées deux fois. On retranche donc pour ne les compter qu'une fois.
💡 Si et sont incompatibles, donc , et on retrouve .
On lance un dé à faces. Soit = « nombre pair » et = « nombre ».
Étape 1 → Lister les issues :
Étape 2 → Déterminer (issues communes) :
Étape 3 → Appliquer la formule :
Vérification : → ✅
Une expérience à deux épreuves consiste à réaliser deux expériences successives (lancer deux dés, tirer deux cartes, lancer une pièce puis un dé…).
Pour représenter toutes les issues possibles, on utilise un tableau à double entrée : une épreuve en ligne, l'autre en colonne. Chaque case représente une issue.
Exemple : On lance un dé et une pièce en même temps.
| Pile | Face | |
|---|---|---|
| 1 | (1 ; P) | (1 ; F) |
| 2 | (2 ; P) | (2 ; F) |
| 3 | (3 ; P) | (3 ; F) |
| 4 | (4 ; P) | (4 ; F) |
| 5 | (5 ; P) | (5 ; F) |
| 6 | (6 ; P) | (6 ; F) |
Il y a issues possibles au total.
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ET Pile ?
On repère dans le tableau les cases « nombre pair ET Pile » : , , .
Il y a issues favorables sur :
On lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme fasse ?
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Il y a issues au total () et cases contiennent (en gras dans le tableau).
💡 La somme est la plus probable de toutes les sommes possibles avec deux dés.
Simuler, c'est reproduire une expérience aléatoire numériquement (avec un tableur, un programme Scratch ou Python) pour observer les résultats sans la réaliser physiquement.
On simule le lancer d'une pièce :
=ALEA() renvoie un nombre au hasard entre et .On peut simuler des milliers de lancers en quelques secondes en recopiant la formule dans une colonne.
Pour simuler le lancer d'un dé :
Deux expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas le résultat de l'autre.
Exemple : Deux lancers de dé successifs sont indépendants — le résultat du premier lancer ne change pas les chances du second.
Contre-exemple : Tirer deux cartes sans remettre la première n'est pas indépendant — la composition du paquet a changé.
Après répétitions d'une expérience, la fréquence d'un événement est :
Plus on répète l'expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.
| Nombre de lancers d'une pièce () | Nombre de « Pile » | Fréquence de « Pile » |
|---|---|---|
Avec lancers, la fréquence est instable (, loin de ). Avec lancers, elle se stabilise autour de , la probabilité théorique.
Quand on ne connaît pas la probabilité théorique (par exemple : une punaise tombe-t-elle plus souvent sur la pointe ou à plat ?), on peut l'estimer par la fréquence, à condition de faire un très grand nombre de répétitions.
C'est le principe des sondages et des études statistiques : on observe la fréquence sur un échantillon pour estimer la probabilité dans la population.
Étape 1 → Identifier l'expérience aléatoire et les issues possibles. Étape 2 → Vérifier s'il y a équiprobabilité (justifier !). Étape 3 → Identifier l'événement étudié et ses issues favorables. Étape 4 → Calculer : (ou utiliser les formules si nécessaire). Étape 5 → Donner le résultat sous forme de fraction irréductible (ou décimale/pourcentage si demandé).
Problème : Dans une urne, il y a boules rouges, boules bleues et boules vertes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou bleue ?
Étape 1 → boules au total. Tirage au hasard → équiprobabilité.
Étape 2 → = « boule rouge » : = « boule bleue » :
Étape 3 → et sont incompatibles (une boule ne peut pas être rouge et bleue à la fois).
Étape 4 →
Autre méthode : le contraire de « rouge ou bleue » est « verte ». . Donc ✅
Événement contraire : . Utile pour les problèmes « au moins un ».
Événements incompatibles (aucune issue commune) : .
Formule générale : . On retranche l'intersection pour ne pas compter deux fois.
Expériences à deux épreuves : utiliser un tableau à double entrée pour lister toutes les issues. Le nombre total d'issues est le produit des nombres d'issues de chaque épreuve.
Simulation : reproduire numériquement une expérience (tableur, Scratch) pour observer les résultats.
Stabilisation des fréquences : plus on répète, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique. Cela permet d'estimer une probabilité inconnue.
Méthode : identifier l'expérience → vérifier l'équiprobabilité → compter les issues favorables → calculer → résultat en fraction irréductible.
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