Probabilités

Ce chapitre approfondit les probabilités vues en 5ème-4ème. On apprend à calculer avec les événements contraires, la formule de la réunion, les expériences à deux épreuves et la stabilisation des fréquences.

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1. Rappels : vocabulaire des probabilités

Cas de l'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se réaliser :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemples :

• Dé équilibré : $P(\text{obtenir 3}) = \dfrac{1}{6}$
• Pièce équilibrée : $P(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2}$

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Propriétés de base

• $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ pour tout événement $A$.
• $P(\text{événement impossible}) = 0$.
• $P(\text{événement certain}) = 1$.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

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2. Événement contraire

2.1 Définition

L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, est l'événement « $A$ ne se réalise pas ». Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans $A$.

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2.2 Formule

$\boxed{P(\bar{A}) = 1 - P(A)}$

C'est logique : soit $A$ se réalise, soit il ne se réalise pas. Les deux couvrent toutes les possibilités, donc leurs probabilités s'ajoutent à $1$.

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2.3 Quand l'utiliser ?

💡 L'événement contraire est souvent plus simple à calculer que l'événement direct, surtout avec les mots « au moins un ».

Exemple : On lance un dé deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?

Calculer directement « au moins un 6 » est compliqué (il faut compter les cas : un seul 6, ou deux 6). C'est plus simple de passer par le contraire :

• Contraire de « au moins un 6 » = « aucun 6 »
• $P(\text{aucun 6}) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$
• Donc $P(\text{au moins un 6}) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36} \approx 0{,}306$

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3. Événements incompatibles

3.1 Définition

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils n'ont aucune issue en commun.

Exemple : Sur un dé, « obtenir $2$ » et « obtenir $5$ » sont incompatibles — on ne peut pas obtenir les deux à la fois.

Contre-exemple : « Obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre $\geqslant 4$ » ne sont pas incompatibles, car le $4$ et le $6$ appartiennent aux deux.

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3.2 Formule pour événements incompatibles

Si $A$ et $B$ sont incompatibles :

$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$

Exemple : $P(\text{obtenir 2 ou 5}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

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4. Réunion, intersection et formule fondamentale

4.1 Définitions

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4.2 La formule fondamentale

$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

Pourquoi le $-P(A \cap B)$ ? Quand on additionne $P(A)$ et $P(B)$, les issues qui sont dans $A$ et dans $B$ à la fois sont comptées deux fois. On retranche donc $P(A \cap B)$ pour ne les compter qu'une fois.

💡 Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $A \cap B = \emptyset$ donc $P(A \cap B) = 0$, et on retrouve $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

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4.3 Exemple résolu pas à pas

On lance un dé à $6$ faces. Soit $A$ = « nombre pair » et $B$ = « nombre $\geqslant 4$ ».

Étape 1 → Lister les issues :

• $A = \{2\;;\;4\;;\;6\}$ donc $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
• $B = \{4\;;\;5\;;\;6\}$ donc $P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Étape 2 → Déterminer $A \cap B$ (issues communes) :

• $A \cap B = \{4\;;\;6\}$ donc $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Étape 3 → Appliquer la formule : $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Vérification : $A \cup B = \{2\;;\;4\;;\;5\;;\;6\}$ → $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ✅

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5. Expériences à deux épreuves

5.1 Principe

Une expérience à deux épreuves consiste à réaliser deux expériences successives (lancer deux dés, tirer deux cartes, lancer une pièce puis un dé…).

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5.2 Le tableau à double entrée

Pour représenter toutes les issues possibles, on utilise un tableau à double entrée : une épreuve en ligne, l'autre en colonne. Chaque case représente une issue.

Exemple : On lance un dé et une pièce en même temps.

Il y a $6 \times 2 = 12$ issues possibles au total.

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5.3 Exemple résolu

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ET Pile ?

On repère dans le tableau les cases « nombre pair ET Pile » : $(2\;;\;\text{P})$, $(4\;;\;\text{P})$, $(6\;;\;\text{P})$.

Il y a $3$ issues favorables sur $12$ :

$P(\text{pair et Pile}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

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5.4 Exemple avec deux dés

On lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme fasse $7$ ?

Il y a $36$ issues au total ($6 \times 6$) et $6$ cases contiennent $7$ (en gras dans le tableau).

$P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

💡 La somme $7$ est la plus probable de toutes les sommes possibles avec deux dés.

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6. Simulation d'une expérience aléatoire

6.1 Qu'est-ce qu'une simulation ?

Simuler, c'est reproduire une expérience aléatoire numériquement (avec un tableur, un programme Scratch ou Python) pour observer les résultats sans la réaliser physiquement.

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6.2 Exemple avec un tableur

On simule le lancer d'une pièce :

• La formule =ALEA() renvoie un nombre au hasard entre $0$ et $1$.
• Si le résultat est $< 0{,}5$ → Pile ; sinon → Face.

On peut simuler des milliers de lancers en quelques secondes en recopiant la formule dans une colonne.

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6.3 Exemple avec Scratch

Pour simuler le lancer d'un dé :

• Bloc « mettre [résultat] à [nombre aléatoire entre 1 et 6] »
• On répète $N$ fois et on compte combien de fois on obtient chaque valeur.

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6.4 Indépendance

Deux expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas le résultat de l'autre.

Exemple : Deux lancers de dé successifs sont indépendants — le résultat du premier lancer ne change pas les chances du second.

Contre-exemple : Tirer deux cartes sans remettre la première n'est pas indépendant — la composition du paquet a changé.

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7. Stabilisation des fréquences

7.1 Définition de la fréquence

Après $n$ répétitions d'une expérience, la fréquence d'un événement $A$ est :

$f = \frac{\text{nombre de fois où } A \text{ s'est réalisé}}{n}$

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7.2 La stabilisation (loi des grands nombres)

Plus on répète l'expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.

Avec $10$ lancers, la fréquence est instable ($0{,}30$, loin de $0{,}5$). Avec $10\,000$ lancers, elle se stabilise autour de $0{,}5$, la probabilité théorique.

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7.3 Application : estimer une probabilité inconnue

Quand on ne connaît pas la probabilité théorique (par exemple : une punaise tombe-t-elle plus souvent sur la pointe ou à plat ?), on peut l'estimer par la fréquence, à condition de faire un très grand nombre de répétitions.

C'est le principe des sondages et des études statistiques : on observe la fréquence sur un échantillon pour estimer la probabilité dans la population.

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8. Résoudre des problèmes de probabilités

Méthode générale

Étape 1 → Identifier l'expérience aléatoire et les issues possibles. Étape 2 → Vérifier s'il y a équiprobabilité (justifier !). Étape 3 → Identifier l'événement étudié et ses issues favorables. Étape 4 → Calculer : $P = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ (ou utiliser les formules si nécessaire). Étape 5 → Donner le résultat sous forme de fraction irréductible (ou décimale/pourcentage si demandé).

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Exemple résolu complet

Problème : Dans une urne, il y a $5$ boules rouges, $3$ boules bleues et $2$ boules vertes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou bleue ?

Étape 1 → $10$ boules au total. Tirage au hasard → équiprobabilité.

Étape 2 → $A$ = « boule rouge » : $P(A) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ $B$ = « boule bleue » : $P(B) = \dfrac{3}{10}$

Étape 3 → $A$ et $B$ sont incompatibles (une boule ne peut pas être rouge et bleue à la fois).

Étape 4 → $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$

Autre méthode : le contraire de « rouge ou bleue » est « verte ». $P(\text{verte}) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$. Donc $P(\text{rouge ou bleue}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$ ✅

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📌 À retenir

1. Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Utile pour les problèmes « au moins un ».

2. Événements incompatibles (aucune issue commune) : $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.

3. Formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. On retranche l'intersection pour ne pas compter deux fois.

4. Expériences à deux épreuves : utiliser un tableau à double entrée pour lister toutes les issues. Le nombre total d'issues est le produit des nombres d'issues de chaque épreuve.

5. Simulation : reproduire numériquement une expérience (tableur, Scratch) pour observer les résultats.

6. Stabilisation des fréquences : plus on répète, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique. Cela permet d'estimer une probabilité inconnue.

7. Méthode : identifier l'expérience → vérifier l'équiprobabilité → compter les issues favorables → calculer → résultat en fraction irréductible.