Probabilités — 4ème

1. Expérience aléatoire et vocabulaire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, même en la répétant dans les mêmes conditions. Exemple : lancer un dé, tirer une carte.

• L'univers (noté $\Omega$) est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Une issue est un résultat possible de l'expérience.
• Un évènement est un sous-ensemble (une partie) de l'univers $\Omega$.

Évènements particuliers

2. Opérations sur les évènements

Soient $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$.

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🎯 Schéma récapitulatif — Opérations ensemblistes

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3. Calculer une probabilité

Définition

Quand toutes les issues sont équiprobables (même chance de se produire), la probabilité d'un évènement $A$ est :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$

• $P(A)$ est toujours compris entre $0$ et $1$ : $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$
• $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$

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Probabilité de l'évènement contraire

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

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Exemple résolu pas à pas 🎲

Énoncé : On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

Étape 1 → Identifier l'univers : $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$, donc 6 issues.

Étape 2 → Définir l'évènement : $A$ = « obtenir un nombre $> 4$ » = $\{5 ; 6\}$, donc 2 issues favorables.

Étape 3 → Calculer : $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33$

Étape 4 → Évènement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

4. Expériences aléatoires à deux épreuves

Quand on réalise deux épreuves successives, on utilise un arbre des possibilités ou un tableau à double entrée pour lister toutes les issues.

Exemple : lancer une pièce ET un dé

La pièce donne $\{P ; F\}$ (Pile ou Face) et le dé donne $\{1;2;3;4;5;6\}$.

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🌳 Arbre des possibilités (extrait)

Nombre total d'issues = $2 \times 6 = 12$

Chaque issue a la probabilité $P = \frac{1}{12}$.

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Exemple : lancer deux dés

Nombre d'issues = $6 \times 6 = 36$. L'évènement « obtenir une somme égale à 7 » correspond aux couples $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$, soit $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

5. Fréquence et probabilité — Fluctuation

Fréquence d'un évènement

Après $n$ répétitions d'une expérience, la fréquence de l'évènement $A$ est :

$f(A) = \frac{\text{nombre de fois où } A \text{ s'est réalisé}}{n}$

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Fluctuation des fréquences

Si on répète l'expérience un nombre fixé de fois (par exemple $n = 50$), la fréquence obtenue varie d'une série à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.

👉 La fréquence fluctue autour de la probabilité théorique $P = 0{,}5$.

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Comparaison distribution fréquentielle / probabiliste

• La distribution probabiliste donne les probabilités théoriques (calcul).
• La distribution fréquentielle donne les fréquences observées (expérience).
• Plus le nombre de répétitions $n$ est grand, plus la distribution fréquentielle se rapproche de la distribution probabiliste.

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📊 Convergence fréquence → probabilité

$n \text{ petit} \xrightarrow{\text{fluctuation forte}} n \text{ grand} \xrightarrow{\text{fluctuation faible}} f(A) \approx P(A)$

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📌 À retenir

1. L'univers $\Omega$ contient toutes les issues ; un évènement est une partie de $\Omega$.
2. Opérations : complémentaire $\bar{A}$, réunion $A \cup B$ (ou), intersection $A \cap B$ (et), ensemble vide $\emptyset$ (impossible).
3. Probabilité (équiprobabilité) : $P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$, avec $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
4. Évènement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
5. Fréquence et probabilité : la fréquence fluctue mais se stabilise autour de la probabilité quand $n$ augmente.