🎲 Probabilités

1. Le hasard et les expériences aléatoires

1.1 Qu'est-ce que le hasard ?

Dans la vie courante, certaines situations ont un résultat imprévisible : lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face… On ne peut pas savoir à l'avance ce qui va se passer. C'est ce qu'on appelle le hasard.

⚠️ À l'inverse, calculer $3 + 5$ donne toujours $8$ : ce n'est pas aléatoire.

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1.2 Le vocabulaire essentiel

• Une issue est un résultat unique (on dit aussi « résultat élémentaire »).
• Un événement peut regrouper plusieurs issues. On dit qu'un événement est réalisé quand l'issue obtenue en fait partie.

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🎲 Exemple : on lance un dé à 6 faces

Expérience aléatoire : lancer le dé
        ↓
Issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6
        ↓
Événement A = « obtenir un nombre ≥ 5 » → issues : {5 ; 6}
        ↓
On lance le dé → on obtient 5 → l'événement A est réalisé ✅

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2. La probabilité d'un événement

2.1 Cas d'équiprobabilité

L'équiprobabilité, c'est quand toutes les issues ont la même chance de se produire. Par exemple, avec un dé équilibré, chaque face a autant de chances de sortir.

$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

• La probabilité est toujours un nombre entre $0$ et $1$ (ou entre $0\,\%$ et $100\,\%$).
• $P = 0$ → l'événement est impossible.
• $P = 1$ → l'événement est certain.

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2.2 Tableau des formules clés

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2.3 Exemple résolu pas à pas

📐 Problème : Un sac contient $2$ billes rouges, $3$ billes bleues et $5$ billes vertes. On tire une bille au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ?

Étape 1 → Compter le nombre total d'issues : $2 + 3 + 5 = 10 \text{ billes}$

Étape 2 → Identifier les issues favorables à l'événement « tirer une bille bleue » : $3 \text{ billes bleues}$

Étape 3 → Appliquer la formule : $P(\text{bleue}) = \frac{3}{10}$

✅ La probabilité de tirer une bille bleue est $\frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%$.

3. Répéter une expérience : tableau d'effectifs et de fréquences

En répétant une expérience aléatoire un grand nombre de fois, on peut observer comment les résultats se répartissent. On note les résultats dans un tableau d'effectifs et de fréquences.

Exemple concret

On lance une pièce de monnaie 50 fois et on note les résultats :

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📊 Ce qu'on observe :

Peu de lancers    →  fréquences éloignées de 0,5
        ↓
Plus de lancers   →  fréquences se rapprochent de 0,5
        ↓
Très grand nombre →  fréquences ≈ probabilité théorique = 0,5 ✅

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💡 Plus on répète l'expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique. C'est pour cela qu'on fait des expériences en classe : on vérifie par la pratique ce que la théorie prédit.

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📌 À retenir

1. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. Chaque résultat possible s'appelle une issue ; un regroupement d'issues s'appelle un événement.
2. En situation d'équiprobabilité : $P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
3. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ ; la somme de toutes les probabilités vaut $1$.
4. La fréquence d'une issue se calcule par $f = \frac{\text{effectif}}{\text{total}}$. Plus on répète l'expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.
5. Un tableau d'effectifs et de fréquences permet d'organiser les résultats d'une expérience répétée.