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Les probabilités — Cours Mathématiques 6ème | KlarIA

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Les probabilités

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Cours

Les Probabilités

1. Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, même en la répétant dans les mêmes conditions.

🎲 Lancer un dé → on ne sait pas quel nombre va sortir
🪙 Lancer une pièce → on ne sait pas si ce sera Pile ou Face
🎰 Tirer une boule dans un sac sans regarder

Chaque résultat possible s'appelle une issue. L'ensemble de toutes les issues possibles s'appelle l'univers de l'expérience.

Exemple : On lance une pièce. L'univers est {Pile ; Face}. Il y a 2 issues possibles.

Un événement est un résultat ou un ensemble de résultats que l'on observe. Par exemple, « obtenir un nombre pair » en lançant un dé est un événement.

2. La probabilité d'un événement est comprise entre $0$ et $1$

Définition

La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure la chance que cet événement se produise.

Règle fondamentale : La probabilité d'un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$ . $0 \leqslant P(\text{événement}) \leqslant 1$

Probabilité	Signification	Exemple 🎲
$P = 0$	Impossible — ne se produit jamais	Obtenir $7$ avec un dé à 6 faces
$P = 0{,}5$	Une chance sur deux	Obtenir Pile avec une pièce
$P = 1$	Certain — se produit toujours	Obtenir un nombre $\leqslant 6$ avec un dé
Entre $0$ et $1$	Plus ou moins probable	Obtenir un $6$ → $P = \frac{1}{6}$

⚠️ Attention : la somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$ .

3. Calculer des probabilités en situation d'équiprobabilité

Qu'est-ce que l'équiprobabilité ?

Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même chance de se produire. On dit que l'expérience est équitable.

Exemple : Un dé bien équilibré → chaque face a la même chance de sortir.

La formule de calcul

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement se calcule ainsi :

$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Notion	Formule (LaTeX)	Exemple
Probabilité d'une issue	$P = \frac{1}{\text{nombre total d'issues}}$	Dé : $P(\text{obtenir 3}) = \frac{1}{6}$
Probabilité d'un événement	$P = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}$	Dé : $P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Événement impossible	$P = 0$	$P(\text{obtenir 8 au dé}) = 0$
Événement certain	$P = 1$	$P(\text{obtenir} \leqslant 6) = 1$

📐 Exemple résolu pas à pas

Énoncé : Un sac contient $3$ boules rouges 🔴, $2$ boules bleues 🔵 et $1$ boule verte 🟢. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

🔴🔴🔴 🔵🔵 🟢 → 6 boules au total

Étape 1 → Compter le nombre total d'issues $6$ boules au total → $6$ issues possibles

Étape 2 → Compter les issues favorables Boules rouges → $3$ issues favorables

Étape 3 → Appliquer la formule $P(\text{rouge}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Étape 4 → Vérifier : $0 \leqslant 0{,}5 \leqslant 1$ ✅

On a une chance sur deux de tirer une boule rouge.

De même : $P(\text{bleue}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ et $P(\text{verte}) = \frac{1}{6}$ . Vérifions la somme : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ ✅

4. Comparer expérience répétée et probabilité calculée

Le principe

Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d'un résultat (ce qu'on observe réellement) se rapproche de la probabilité calculée (ce qu'on attend en théorie).

Exemple : On lance une pièce équilibrée. La probabilité théorique de Pile est $P = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .

Nombre de lancers	Nombre de Pile obtenus	Fréquence de Pile
$10$	$4$	$\frac{4}{10} = 0{,}4$
$100$	$47$	$\frac{47}{100} = 0{,}47$
$1\,000$	$503$	$\frac{503}{1000} = 0{,}503$
$10\,000$	$5\,012$	$\frac{5012}{10000} = 0{,}5012$

📊 Observation : Fréquence → se rapproche de → $P = 0{,}5$

🔁 Peu de lancers → fréquence éloignée de $P$ 🔁🔁🔁 Beaucoup de lancers → fréquence proche de $P$

Ce qu'il faut comprendre

La fréquence obtenue en pratique n'est pas toujours exactement égale à la probabilité.
C'est normal : le hasard produit des variations !
Mais plus on répète l'expérience, plus la fréquence se stabilise autour de la probabilité théorique.

Si un camarade lance un dé $60$ fois et obtient le $6$ seulement $8$ fois, la fréquence est $\frac{8}{60} \approx 0{,}13$ , assez proche de $P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ . Un petit écart est tout à fait normal !

📌 À retenir

La probabilité d'un événement est un nombre toujours compris entre $0$ et $1$ : impossible ( $0$ ), certain ( $1$ ), ou entre les deux.
En situation d'équiprobabilité : $P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ .
La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$ .
Plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité calculée.
Un écart entre fréquence et probabilité est normal, surtout avec peu d'essais.

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