Résoudre des Problèmes de Géométrie
1. Projeté orthogonal
1.1 Définition
Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite d est le point H de d tel que la droite (MH) est perpendiculaire à d.
H est le point de d le plus proche de M : pour tout point P de d, MH⩽MP.
🎯 Propriété fondamentale : le projeté orthogonal minimise la distance du point à la droite. Le segment [MH] est la hauteur depuis M par rapport à d.
1.2 Construction
Pour construire le projeté orthogonal de M sur d :
- Tracer la perpendiculaire à d passant par M
- H est le point d'intersection de cette perpendiculaire avec d
1.3 Propriété du triangle rectangle
Si H est le projeté orthogonal de M sur (AB), alors le triangle MHA (ou MHB) est rectangle en H.
On peut alors appliquer le théorème de Pythagore :
MA2=MH2+HA2
2. Géométrie dans les triangles
2.1 Rappels essentiels
Théorème de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle en C :
AB2=AC2+BC2
Réciproque : si AB2=AC2+BC2 (avec AB le plus grand côté), alors le triangle ABC est rectangle en C.
Exemple : Un triangle a pour côtés 3, 4 et 5. Vérifions : 52=25=9+16=32+42 → rectangle ✔️
2.2 Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cosα=hypoteˊnusecoˆteˊ adjacentsinα=hypoteˊnusecoˆteˊ opposeˊtanα=coˆteˊ adjacentcoˆteˊ opposeˊ
Relation fondamentale : cos2α+sin2α=1.
Exemple résolu : Dans un triangle ABC rectangle en C, on sait que AB=10 cm et BAC=35°. Calculer BC et AC.
- sin35°=ABBC=10BC → BC=10sin35°≈5,74 cm
- cos35°=ABAC=10AC → AC=10cos35°≈8,19 cm
2.3 Propriétés des triangles
Somme des angles : dans tout triangle, A+B+C=180°.
Inégalité triangulaire : dans tout triangle ABC, AB⩽AC+BC (un côté est toujours inférieur à la somme des deux autres).
Aire d'un triangle :
A=2base×hauteur
3. Géométrie dans les quadrilatères
3.1 Parallélogrammes
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB=DC (ou de façon équivalente : les diagonales se coupent en leur milieu).
Propriétés : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Cas particuliers :
| Quadrilatère | Propriété supplémentaire |
|---|
| Rectangle | Parallélogramme avec un angle droit |
| Losange | Parallélogramme avec quatre côtés égaux |
| Carré | Rectangle et losange |
3.2 Aires des quadrilatères
| Figure | Formule de l'aire |
|---|
| Rectangle | A=L×l |
| Parallélogramme | A=base×hauteur |
| Losange | A=2d1×d2 (produit des diagonales / 2) |
| Trapèze | A=2(B+b)×h (B et b = bases parallèles) |
4. Géométrie et cercles
4.1 Rappels
- Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM=r.
- Le diamètre vaut d=2r.
- Périmètre : P=2πr.
- Aire du disque : A=πr2.
4.2 Théorème de l'angle inscrit
Un angle inscrit dans un demi-cercle (c'est-à-dire dont le sommet est sur le cercle et qui intercepte un diamètre) est un angle droit.
Réciproque : si ABC est un triangle rectangle en C, alors C est sur le cercle de diamètre [AB].
Exemple : Si [AB] est un diamètre d'un cercle et C un point du cercle, alors le triangle ABC est rectangle en C.
5. Volumes
5.1 Formules essentielles
| Solide | Volume |
|---|
| Pavé droit (parallélépipède) | V=L×l×h |
| Cube | V=c3 |
| Cylindre | V=πr2h |
| Cône | V=31πr2h |
| Sphère | V=34πr3 |
| Pyramide | V=31×Abase×h |
6. Problèmes d'optimisation
6.1 Méthode générale
Pour résoudre un problème d'optimisation :
- Identifier la grandeur à optimiser (aire, longueur, volume…)
- Choisir une variable x et déterminer son domaine de variation
- Exprimer la grandeur en fonction de x → on obtient une fonction f(x)
- Étudier les variations de f pour trouver le maximum ou le minimum
Exemple résolu : On dispose de 20 m de clôture pour construire un enclos rectangulaire. Quelles dimensions maximisent l'aire ?
Étape 1 : Soit x la largeur. Alors la longueur vaut 220−2x=10−x.
Étape 2 : Domaine : 0<x<10.
Étape 3 : Aire : A(x)=x(10−x)=−x2+10x.
Étape 4 : A(x)=−(x2−10x)=−(x2−10x+25−25)=−(x−5)2+25.
A(x) est maximale quand (x−5)2=0, soit x=5.
Conclusion : L'enclos a une aire maximale de 25 m² pour un carré de côté 5 m.
Exemple résolu : On inscrit un rectangle de largeur 2x dans un demi-cercle de rayon R. Quelle valeur de x maximise l'aire du rectangle ?
Le rectangle a pour sommets (±x;0) et (±x;y) avec x2+y2=R2, donc y=R2−x2.
Aire : A(x)=2x×R2−x2 pour 0<x<R.
Ce type de problème se traite numériquement (GeoGebra, calculatrice) en seconde.
📌 À retenir
- Le projeté orthogonal de M sur d est le point de d le plus proche de M — il crée un angle droit.
- Pythagore et la trigonométrie sont les outils fondamentaux dans les triangles rectangles.
- Les formules d'aire et de volume sont à connaître par cœur.
- Pour un problème d'optimisation : exprimer la grandeur en fonction d'une variable, puis étudier les variations.
- Le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle donne un angle droit.
- Toujours vérifier la cohérence du résultat (unités, ordre de grandeur, cas limites).