Résoudre des Problèmes de Géométrie

1. Projeté orthogonal

1.1 Définition

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que la droite $(MH)$ est perpendiculaire à $d$.

$H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$ : pour tout point $P$ de $d$, $MH \leqslant MP$.

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🎯 Propriété fondamentale : le projeté orthogonal minimise la distance du point à la droite. Le segment $[MH]$ est la hauteur depuis $M$ par rapport à $d$.

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1.2 Construction

Pour construire le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ :

1. Tracer la perpendiculaire à $d$ passant par $M$
2. $H$ est le point d'intersection de cette perpendiculaire avec $d$

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1.3 Propriété du triangle rectangle

Si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$, alors le triangle $MHA$ (ou $MHB$) est rectangle en $H$.

On peut alors appliquer le théorème de Pythagore :

$MA^2 = MH^2 + HA^2$

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2. Géométrie dans les triangles

2.1 Rappels essentiels

Théorème de Pythagore : dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ :

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

Réciproque : si $AB^2 = AC^2 + BC^2$ (avec $AB$ le plus grand côté), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Exemple : Un triangle a pour côtés $3$, $4$ et $5$. Vérifions : $5^2 = 25 = 9 + 16 = 3^2 + 4^2$ → rectangle ✔️

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2.2 Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ :

$\cos \alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Relation fondamentale : $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.

Exemple résolu : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, on sait que $AB = 10$ cm et $\widehat{BAC} = 35°$. Calculer $BC$ et $AC$.

• $\sin 35° = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{10}$ → $BC = 10 \sin 35° \approx 5{,}74$ cm
• $\cos 35° = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{10}$ → $AC = 10 \cos 35° \approx 8{,}19$ cm

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2.3 Propriétés des triangles

Somme des angles : dans tout triangle, $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$.

Inégalité triangulaire : dans tout triangle $ABC$, $AB \leqslant AC + BC$ (un côté est toujours inférieur à la somme des deux autres).

Aire d'un triangle :

$\mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$

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3. Géométrie dans les quadrilatères

3.1 Parallélogrammes

Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$ (ou de façon équivalente : les diagonales se coupent en leur milieu).

Propriétés : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Cas particuliers :

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3.2 Aires des quadrilatères

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4. Géométrie et cercles

4.1 Rappels

• Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ tels que $OM = r$.
• Le diamètre vaut $d = 2r$.
• Périmètre : $\mathcal{P} = 2\pi r$.
• Aire du disque : $\mathcal{A} = \pi r^2$.

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4.2 Théorème de l'angle inscrit

Un angle inscrit dans un demi-cercle (c'est-à-dire dont le sommet est sur le cercle et qui intercepte un diamètre) est un angle droit.

Réciproque : si $ABC$ est un triangle rectangle en $C$, alors $C$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$.

Exemple : Si $[AB]$ est un diamètre d'un cercle et $C$ un point du cercle, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

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5. Volumes

5.1 Formules essentielles

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6. Problèmes d'optimisation

6.1 Méthode générale

Pour résoudre un problème d'optimisation :

1. Identifier la grandeur à optimiser (aire, longueur, volume…)
2. Choisir une variable $x$ et déterminer son domaine de variation
3. Exprimer la grandeur en fonction de $x$ → on obtient une fonction $f(x)$
4. Étudier les variations de $f$ pour trouver le maximum ou le minimum

Exemple résolu : On dispose de $20$ m de clôture pour construire un enclos rectangulaire. Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Étape 1 : Soit $x$ la largeur. Alors la longueur vaut $\frac{20 - 2x}{2} = 10 - x$.

Étape 2 : Domaine : $0 < x < 10$.

Étape 3 : Aire : $A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$.

Étape 4 : $A(x) = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = -(x - 5)^2 + 25$.

$A(x)$ est maximale quand $(x - 5)^2 = 0$, soit $x = 5$.

Conclusion : L'enclos a une aire maximale de $25$ m² pour un carré de côté $5$ m.

Exemple résolu : On inscrit un rectangle de largeur $2x$ dans un demi-cercle de rayon $R$. Quelle valeur de $x$ maximise l'aire du rectangle ?

Le rectangle a pour sommets $(\pm x\,;\,0)$ et $(\pm x\,;\,y)$ avec $x^2 + y^2 = R^2$, donc $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Aire : $A(x) = 2x \times \sqrt{R^2 - x^2}$ pour $0 < x < R$.

Ce type de problème se traite numériquement (GeoGebra, calculatrice) en seconde.

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📌 À retenir

1. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point de $d$ le plus proche de $M$ — il crée un angle droit.
2. Pythagore et la trigonométrie sont les outils fondamentaux dans les triangles rectangles.
3. Les formules d'aire et de volume sont à connaître par cœur.
4. Pour un problème d'optimisation : exprimer la grandeur en fonction d'une variable, puis étudier les variations.
5. Le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle donne un angle droit.
6. Toujours vérifier la cohérence du résultat (unités, ordre de grandeur, cas limites).