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Fiche de révision Résoudre des problèmes de géométrie — Mathématiques 2nde | KlarIA

🔢 Mathématiques2ndeFiche de révision

Résoudre des problèmes de géométrie

📝

Fiche de révision

Terme	Définition
Projeté orthogonal	Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(d)$ est le point $H$ de $(d)$ tel que $(MH) \perp (d)$ . C'est le point de $(d)$ le plus proche de $M$ .
Distance d'un point à une droite	Longueur $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ . C'est la plus courte distance entre $M$ et tout point de $(d)$ .
Optimisation	Recherche d'une valeur (longueur, aire, volume) maximale ou minimale selon une contrainte donnée.

Objet	Formule
Pythagore (triangle rectangle)	$AB^2 + BC^2 = AC^2$ (avec $AC$ hypoténuse)
Trigonométrie	$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Aire d'un triangle	$\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$
Aire d'un disque	$\mathcal{A} = \pi r^2$
Aire d'un trapèze	$\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$
Volume d'un cylindre	$V = \pi r^2 \times h$
Volume d'un cône	$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \times h$
Volume d'une sphère	$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$
Al-Kashi (généralisé)	$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})$

Trouver un projeté orthogonal :

Résoudre un problème de géométrie plane :

Problème d'optimisation :

Introduire une variable $x$ et préciser son intervalle
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $x$
Étudier la fonction obtenue (tableau de valeurs, forme canonique, ou lecture graphique)
Identifier le maximum ou minimum et la valeur de $x$ correspondante

Piège	Conseil
Appliquer Pythagore dans un triangle non rectangle	Toujours vérifier l'angle droit avant !
Confondre adjacent et opposé en trigo	Se placer du point de vue de l'angle considéré
Oublier les unités (cm², m³…)	Aires en unités², volumes en unités³
En optimisation, oublier le domaine de validité de $x$	Ex : $x > 0$ , $x < 10$ … vérifier les contraintes géométriques
Confondre distance $MH$ et distance $MH^2$	Penser à prendre la racine carrée à la fin de Pythagore

Le projeté orthogonal donne toujours la distance minimale d'un point à une droite.
Tout problème de géométrie commence par un schéma bien construit.
Un triangle rectangle est votre meilleur outil : cherchez-en toujours un !
En optimisation, tout traduire en une fonction d'une seule variable, puis chercher son extremum.
Toujours vérifier la cohérence du résultat (ordre de grandeur, unité, signe).

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