Proportionnalité

1. Grandeurs quotients et rapports

Grandeurs quotients

Une grandeur quotient est le résultat de la division de deux grandeurs, souvent de natures différentes. Elle peut avoir une unité ou non.

Exemple : Un cycliste parcourt $90$ km en $3$ h. Sa vitesse moyenne est $v = \frac{90}{3} = 30$ km/h.

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Rapport et ratio

Le rapport de deux nombres $a$ et $b$ (avec $b \neq 0$) est le quotient $\frac{a}{b}$.

Le ratio permet de comparer plusieurs grandeurs entre elles. On écrit $a : b$ (qui se lit « $a$ pour $b$ »).

Exemple : Dans une classe de 28 élèves, il y a 16 filles et 12 garçons. Le ratio filles : garçons est $16 : 12$, soit en simplifiant $4 : 3$.

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2. Reconnaître et exprimer la proportionnalité

Deux suites de nombres sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

On peut aussi l'exprimer par des égalités de rapports :

$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$

Vérification : $\frac{4{,}50}{3} = \frac{7{,}50}{5} = \frac{12}{8} = 1{,}50$ → C'est proportionnel, le coefficient est $k = 1{,}50$ €/cahier.

On peut aussi écrire le ratio : $3 : 5 : 8 = 4{,}50 : 7{,}50 : 12$.

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3. Quatrième proportionnelle

Déterminer une quatrième proportionnelle, c'est trouver la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité.

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📐 Méthode du produit en croix

Étape 1 → Poser l'égalité des rapports Étape 2 → Effectuer le produit en croix Étape 3 → Isoler l'inconnue

$\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \implies x = \frac{b \times c}{a}$

Exemple résolu pas à pas :

Étape 1 : $\frac{250}{150} = \frac{400}{x}$

Étape 2 : Produit en croix : $250 \times x = 150 \times 400$

Étape 3 : $x = \frac{150 \times 400}{250} = \frac{60\,000}{250} = 240$ g

✅ Il faut 240 g de sucre pour 400 g de farine.

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4. Calculer avec des pourcentages

Un pourcentage exprime une proportion sur 100. Dire « $35\%$ » signifie $\frac{35}{100} = 0{,}35$.

Pour calculer $t\%$ d'une quantité $Q$ :

$t\% \text{ de } Q = \frac{t}{100} \times Q$

Exemple : $15\%$ de $260$ € $= \frac{15}{100} \times 260 = 0{,}15 \times 260 = 39$ €.

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5. Coefficient multiplicateur (augmentation / diminution)

Augmentation de $t\%$

Pour augmenter une valeur de $t\%$, on la multiplie par le coefficient multiplicateur :

$CM = 1 + \frac{t}{100}$

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Diminution de $t\%$

Pour diminuer une valeur de $t\%$ :

$CM = 1 - \frac{t}{100}$

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🔢 Processus : appliquer un pourcentage d'évolution

Valeur de départ → $\times\, CM$ → Valeur d'arrivée

↕ inversement

Valeur d'arrivée → $\div\, CM$ → Valeur de départ

Exemple résolu : Un article coûte $85$ € et subit une réduction de $20\%$.

• $CM = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}80$
• Nouveau prix $= 85 \times 0{,}80 = 68$ €

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6. Partage proportionnel

Un partage proportionnel consiste à répartir une quantité en parts proportionnelles à des nombres donnés.

Exemple résolu : Trois amis se partagent $180$ € proportionnellement à $2$, $3$ et $5$.

Étape 1 → Total des parts : $2 + 3 + 5 = 10$

Étape 2 → Valeur d'une part : $\frac{180}{10} = 18$ €

Étape 3 → Répartition :

Vérification : $36 + 54 + 90 = 180$ € ✅

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📌 À retenir

• Proportionnalité = rapport constant entre deux suites de nombres (coefficient $k$).
• Quatrième proportionnelle : on utilise le produit en croix → $x = \frac{b \times c}{a}$.
• Pourcentage : $t\%$ de $Q = \frac{t}{100} \times Q$.
• Coefficient multiplicateur : hausse de $t\%$ → $CM = 1 + \frac{t}{100}$ ; baisse de $t\%$ → $CM = 1 - \frac{t}{100}$.
• Partage proportionnel : on calcule la valeur d'une part, puis on multiplie par le nombre de parts de chacun.