La Proportionnalité

1. Qu'est-ce que la proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Comment identifier une situation de proportionnalité ?

On vérifie que tous les quotients $\frac{\text{grandeur 2}}{\text{grandeur 1}}$ donnent le même résultat.

✅ Tous les quotients valent 3 → situation proportionnelle, coefficient = $3$.

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Situations courantes de proportionnalité

• Prix : le prix total est proportionnel à la quantité achetée (le coefficient est le prix unitaire)
• Distances et échelles : la distance sur une carte est proportionnelle à la distance réelle (le coefficient est l'échelle)
• Vitesse : la distance parcourue est proportionnelle au temps si la vitesse est constante (le coefficient est la vitesse moyenne)
• Recettes de cuisine : les quantités d'ingrédients sont proportionnelles au nombre de personnes

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2. Le coefficient de proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir celles de la seconde.

$\text{Grandeur 2} = \text{coefficient} \times \text{Grandeur 1}$

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📐 Schéma : fonctionnement du coefficient

⚠️ Pour revenir en arrière : on divise par $k$ (ou on multiplie par $\frac{1}{k}$).

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3. Calculer une quatrième proportionnelle

Méthode pas à pas (exemple résolu)

Énoncé : 3 cahiers coûtent 7,50 €. Combien coûtent 8 cahiers ?

Étape 1 → Calculer le coefficient (prix unitaire) :

$k = \frac{7{,}50}{3} = 2{,}50 \text{ €/cahier}$

Étape 2 → Multiplier par la nouvelle quantité :

$\text{Prix} = 2{,}50 \times 8 = 20 \text{ €}$

✅ 8 cahiers coûtent 20 €.

On peut aussi utiliser le produit en croix dans un tableau :

$? = \frac{8 \times 7{,}50}{3} = \frac{60}{3} = 20 \text{ €}$

4. Proportions et pourcentages

Un pourcentage exprime une proportion sur 100. Dire « 40 % des élèves » signifie $\frac{40}{100}$ des élèves.

Calculer un pourcentage

$\text{Pourcentage} = \frac{\text{effectif partiel}}{\text{effectif total}} \times 100$

Exemple : Dans une classe de 25 élèves, 15 sont demi-pensionnaires.

$\frac{15}{25} \times 100 = 60 \%$

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Appliquer un pourcentage

Pour calculer 35 % de 200 :

$\frac{35}{100} \times 200 = 0{,}35 \times 200 = 70$

5. Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l'origine $(0\,;0)$.

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📊 Reconnaître sur un graphique :

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• ✅ Proportionnel → droite passant par l'origine
• ❌ Non proportionnel → courbe, ou droite ne passant pas par l'origine

📌 À retenir

1. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité).
2. Pour vérifier : calculer tous les quotients $\frac{\text{grandeur 2}}{\text{grandeur 1}}$ → ils doivent être égaux.
3. Pourcentage = proportion sur 100 : pour calculer $t\%$ d'une quantité $Q$, on fait $\frac{t}{100} \times Q$.
4. Sur un graphique, la proportionnalité se traduit par des points alignés avec l'origine $(0\,;0)$.
5. Le coefficient peut représenter un prix unitaire, une vitesse moyenne ou une échelle selon le contexte.