La Proportionnalité

1. Qu'est-ce que la proportionnalité ?

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

💡 Grandeur = quelque chose que l'on peut mesurer (un prix, une masse, une distance…).

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Lien avec la vie courante

La proportionnalité est partout autour de toi :

• Le prix des fruits au kilogramme (2 kg coûtent deux fois plus cher qu'1 kg)
• La quantité d'ingrédients d'une recette quand on double les parts
• La distance parcourue à vitesse constante

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Le coefficient de proportionnalité

On passe de la 1ʳᵉ ligne à la 2ᵉ en multipliant toujours par $2$. Le coefficient de proportionnalité est donc $2$.

$\text{Prix} = \text{Nombre de cahiers} \times 2$

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2. Identifier si une situation est proportionnelle

Méthode : on vérifie que le rapport (la division) entre les deux grandeurs donne toujours le même résultat.

Exemple résolu pas à pas

Un magasin affiche ces tarifs pour des photocopies :

Étape 1 → Calculer chaque rapport $\frac{\text{Prix}}{\text{Nombre de copies}}$

• $\frac{1}{10} = 0{,}1$
• $\frac{2{,}5}{25} = 0{,}1$
• $\frac{4}{40} = 0{,}1$

Étape 2 → Comparer les résultats : ils sont tous égaux à $0{,}1$.

Étape 3 → Conclure : oui, le prix est proportionnel au nombre de copies. Le coefficient est $0{,}1$.

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Contre-exemple

$\frac{85}{2} = 42{,}5$ ; $\frac{115}{6} \approx 19{,}2$ ; $\frac{150}{12} = 12{,}5$ → Les rapports sont différents : ce n'est pas proportionnel.

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3. Résoudre un problème de proportionnalité

Méthode 1 : par linéarité (multiplication / addition)

On utilise des propriétés simples du tableau :

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📘 Propriétés de linéarité

🔢 Si on multiplie une colonne par un nombre → on multiplie l'autre aussi

➕ Si on additionne deux colonnes → on peut additionner les résultats

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Exemple : 3 kg de pommes coûtent $4{,}50$ €. Combien coûtent 12 kg ?

On remarque que $12 = 3 \times 4$, donc : $4{,}50 \times 4 = 18$ €.

→ 12 kg coûtent $18$ €.

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Méthode 2 : le retour à l'unité

On cherche d'abord la valeur pour 1 unité, puis on multiplie.

Étape 1 → Trouver le prix pour 1 kg : $\frac{4{,}50}{3} = 1{,}50$ €

Étape 2 → Multiplier par la quantité voulue : $1{,}50 \times 12 = 18$ €

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🍎 Schéma du retour à l'unité

$3 \text{ kg} \xrightarrow{\div\, 3} 1 \text{ kg} \xrightarrow{\times\, 12} 12 \text{ kg}$ $4{,}50 \text{ €} \xrightarrow{\div\, 3} 1{,}50 \text{ €} \xrightarrow{\times\, 12} 18 \text{ €}$

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4. Représenter avec un tableau ou des notations

Un tableau de proportionnalité se reconnaît au fait qu'on peut écrire le coefficient :

On peut aussi écrire symboliquement : si $k$ est le coefficient, alors pour toute valeur $x$ de la première grandeur, la seconde vaut :

$y = k \times x$

5. Initiation aux problèmes d'échelles

L'échelle d'un plan ou d'une carte est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles.

$\text{Échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$

Une échelle de $\frac{1}{200}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $200$ cm (soit $2$ m) en réalité.

Exemple résolu

Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{500}$, une pièce mesure $3$ cm. Quelle est sa longueur réelle ?

Étape 1 → Écrire la relation : distance réelle $= 3 \times 500 = 1\,500$ cm

Étape 2 → Convertir : $1\,500 \text{ cm} = 15 \text{ m}$

📐 La pièce mesure $15$ m en réalité.

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📌 À retenir

1. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité).
2. Pour vérifier la proportionnalité, on calcule tous les rapports $\frac{\text{2ᵉ grandeur}}{\text{1ʳᵉ grandeur}}$ : s'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.
3. Pour résoudre un problème, on peut utiliser la linéarité ($\times$ ou $+$ de colonnes) ou le retour à l'unité (÷ pour trouver la valeur pour 1, puis ×).
4. La formule générale est $y = k \times x$ où $k$ est le coefficient.
5. L'échelle d'un plan est le rapport $\frac{\text{distance plan}}{\text{distance réelle}}$ : c'est un cas concret de proportionnalité.