Proportionnalité et pourcentages

Ce chapitre fait la synthèse de la proportionnalité en 3ème : on la relie aux fonctions linéaires (chapitre 6), au théorème de Thalès (chapitre 10), et on approfondit les calculs de pourcentages avec le coefficient multiplicateur.

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1. Rappel : qu'est-ce que la proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

On multiplie toujours le nombre de cahiers par $1{,}50$ pour obtenir le prix → c'est proportionnel. Le coefficient de proportionnalité est $1{,}50$ €/cahier.

Comment vérifier la proportionnalité ?

Dans un tableau : on calcule les rapports $\dfrac{y}{x}$ pour chaque colonne. S'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.

$\frac{4{,}50}{3} = 1{,}50 \qquad \frac{7{,}50}{5} = 1{,}50 \qquad \frac{15}{10} = 1{,}50 \quad \checkmark$

Sur un graphique : les points sont alignés avec l'origine $O(0\;;\;0)$.

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2. Proportionnalité et fonction linéaire

2.1 Le lien fondamental

Une situation de proportionnalité se traduit toujours par une fonction linéaire :

$f(x) = ax$

où $a$ est le coefficient de proportionnalité. Et réciproquement : toute fonction linéaire modélise une proportionnalité.

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2.2 Reconnaître graphiquement

Un graphique représente une situation de proportionnalité si et seulement si les points sont alignés et la droite passe par l'origine.

⚠️ Si la droite ne passe pas par l'origine, ce n'est pas de la proportionnalité (c'est une fonction affine, pas linéaire).

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3. Lien avec le théorème de Thalès

Sur la droite d'une fonction linéaire passant par l'origine, prenons deux points $A(x_A\;;\;y_A)$ et $B(x_B\;;\;y_B)$. En traçant les projections verticales, on forme des triangles emboîtés avec l'origine.

Le théorème de Thalès garantit l'égalité des rapports :

$\frac{x_A}{x_B} = \frac{y_A}{y_B}$

C'est exactement la propriété de proportionnalité ! Proportionnalité, fonction linéaire et Thalès sont trois façons de dire la même chose.

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4. Pourcentages : rappels et approfondissement

4.1 Prendre un pourcentage d'une quantité

Prendre $t\%$ d'une quantité $Q$, c'est calculer :

$\frac{t}{100} \times Q$

Exemple : $25\%$ de $80$ € $= \dfrac{25}{100} \times 80 = 0{,}25 \times 80 = 20$ €.

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4.2 Exprimer une proportion en pourcentage

$\text{Pourcentage} = \frac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100$

Exemple : Dans une classe de $30$ élèves, $12$ sont des filles. $\frac{12}{30} \times 100 = 40\%$

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5. Le coefficient multiplicateur

C'est l'outil central de ce chapitre pour les pourcentages.

5.1 Augmentation

Augmenter une valeur de $t\%$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur :

$\boxed{CM = 1 + \frac{t}{100}}$

Explication : augmenter de $t\%$, c'est garder $100\%$ de la valeur plus $t\%$ en plus, soit $(100 + t)\%$ de la valeur.

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5.2 Diminution

Diminuer une valeur de $t\%$ revient à la multiplier par :

$\boxed{CM = 1 - \frac{t}{100}}$

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5.3 Exemple résolu

Un article coûte $80$ €. Il subit une hausse de $10\%$, puis une baisse de $20\%$. Quel est le prix final ?

• Hausse de $10\%$ : $80 \times 1{,}10 = 88$ €
• Baisse de $20\%$ : $88 \times 0{,}80 = 70{,}40$ €

Le prix final est $70{,}40$ € (et non $80$ € : on a perdu plus qu'on n'a gagné !).

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6. Évolutions successives

6.1 Méthode

Pour enchaîner plusieurs variations, on multiplie les coefficients multiplicateurs :

$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots$

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6.2 Le piège classique

⚠️ Une hausse de $t\%$ suivie d'une baisse de $t\%$ ne ramène PAS à la valeur initiale.

Preuve : $CM_{\text{global}} = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) \times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right) = 1 - \left(\dfrac{t}{100}\right)^2$

Ce résultat est toujours inférieur à $1$ (sauf si $t = 0$). Donc on perd toujours un peu !

Exemple numérique : $+10\%$ puis $-10\%$ : $CM = 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$

On a perdu $1\%$ ! (C'est l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ qui se cache derrière.)

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6.3 Exemple résolu

Un salaire augmente de $5\%$ chaque année pendant $3$ ans. Quel est le pourcentage d'augmentation total ?

$CM_{\text{global}} = 1{,}05 \times 1{,}05 \times 1{,}05 = (1{,}05)^3 = 1{,}157625$

Le taux d'augmentation total est : $(1{,}157625 - 1) \times 100 \approx 15{,}76\%$.

⚠️ Ce n'est pas $3 \times 5\% = 15\%$ ! On ne peut pas additionner les pourcentages.

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7. Taux d'évolution

7.1 Formule

Pour trouver le pourcentage d'évolution entre une valeur initiale $V_i$ et une valeur finale $V_f$ :

$\boxed{\text{Taux d'évolution} = \frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100}$

• Si le résultat est positif → c'est une augmentation.
• Si le résultat est négatif → c'est une diminution.

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7.2 Exemples

Exemple 1 : Un prix passe de $50$ € à $60$ €. $\frac{60 - 50}{50} \times 100 = \frac{10}{50} \times 100 = +20\%$

C'est une hausse de $20\%$.

Exemple 2 : Un prix passe de $80$ € à $60$ €. $\frac{60 - 80}{80} \times 100 = \frac{-20}{80} \times 100 = -25\%$

C'est une baisse de $25\%$.

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7.3 Retrouver le coefficient multiplicateur

Le taux d'évolution et le CM sont liés :

$CM = 1 + \frac{\text{taux}}{100}$

Exemple : un taux de $-25\%$ correspond à $CM = 1 + (-0{,}25) = 0{,}75$.

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8. Retrouver la valeur initiale

Parfois, on connaît la valeur finale après une évolution et on veut retrouver la valeur initiale.

Méthode : on divise la valeur finale par le coefficient multiplicateur.

$V_i = \frac{V_f}{CM}$

Exemple : Après une baisse de $20\%$, un article coûte $56$ €. Quel était son prix initial ?

• $CM = 1 - 0{,}20 = 0{,}80$
• $V_i = \dfrac{56}{0{,}80} = 70$ €

Vérification : $70 \times 0{,}80 = 56$ € ✅

⚠️ Erreur classique : les élèves font $56 + 20\% \times 56 = 56 + 11{,}20 = 67{,}20$ € → FAUX ! On ne peut pas « remonter » en ajoutant le même pourcentage, car la base de calcul a changé.

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9. Résoudre des problèmes de proportionnalité

Exemple 1 — Échelle

Une carte est à l'échelle $1 : 25\,000$. Deux villes sont séparées de $12$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle ?

L'échelle signifie : $1$ cm sur la carte = $25\,000$ cm en réalité.

$12 \times 25\,000 = 300\,000 \text{ cm} = 3\,000 \text{ m} = 3 \text{ km}$

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Exemple 2 — Partage proportionnel

Trois amis partagent $180$ € proportionnellement à leur mise : $2$, $3$ et $5$.

• Total des parts : $2 + 3 + 5 = 10$
• Valeur d'une part : $180 \div 10 = 18$ €
• Répartition : $2 \times 18 = 36$ € ; $3 \times 18 = 54$ € ; $5 \times 18 = 90$ €
• Vérification : $36 + 54 + 90 = 180$ € ✅

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📌 À retenir

1. Proportionnalité = fonction linéaire = droite par l'origine. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient $a$ de $f(x) = ax$.

2. Lien avec Thalès : les triangles emboîtés sur la droite linéaire produisent des rapports égaux → c'est la proportionnalité.

3. Coefficient multiplicateur :

   • Augmenter de $t\%$ → multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$
   • Diminuer de $t\%$ → multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$

4. Évolutions successives : on multiplie les CM (jamais additionner les pourcentages). $+10\%$ puis $-10\%$ ≠ $0\%$.

5. Taux d'évolution : $\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$.

6. Retrouver la valeur initiale : $V_i = \dfrac{V_f}{CM}$ (ne pas ajouter le pourcentage à la valeur finale).