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Puissances de 10 et notation scientifique

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Cours

Puissances de 10 et notation scientifique

La distance de la Terre au Soleil est d'environ $150\,000\,000\,000$ m. Un virus de la grippe mesure environ $0{,}000\,000\,1$ m.

Compter les zéros un par un est long, et l'on se trompe facilement. Les scientifiques écrivent plutôt $1{,}5 \times 10^{11}$ m et $10^{-7}$ m.

Dans ce chapitre, tu apprends à lire, écrire et calculer avec ces écritures.

1. Les puissances de 10 d'exposant positif

$10^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $10$ : il s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros.

Puissance	Écriture décimale	En français
$10^1$	$10$	dix
$10^2$	$100$	cent
$10^3$	$1\,000$	mille
$10^6$	$1\,000\,000$	un million
$10^9$	$1\,000\,000\,000$	un milliard

Et, comme pour toute puissance, $10^0 = 1$ .

2. Les puissances de 10 d'exposant négatif

2.1 L'idée : continuer à diviser par 10

Lis ce tableau de haut en bas : quand l'exposant diminue de $1$ , le nombre est divisé par $10$ .

Puissance	Valeur	D'une ligne à la suivante
$10^2$	$100$
$10^1$	$10$	$\div 10$
$10^0$	$1$	$\div 10$
$10^{-1}$	$0{,}1$	$\div 10$
$10^{-2}$	$0{,}01$	$\div 10$
$10^{-3}$	$0{,}001$	$\div 10$

Définition. $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ : c'est l'inverse de $10^n$ . Dans son écriture décimale, le chiffre $1$ est le $n$ -ième chiffre après la virgule.

Exemples : $10^{-4} = \dfrac{1}{10\,000} = 0{,}000\,1$ ; $10^{-6} = 0{,}000\,001$ .

⚠️ Un exposant négatif ne donne pas un nombre négatif. $10^{-2} = 0{,}01$ est un nombre positif, très petit. Il n'a rien à voir avec $-100$ .

2.2 Pour n'importe quel nombre

La définition est la même pour tout nombre $a$ non nul : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Exemples : $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ ; $5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .

3. Calculer avec les puissances de 10

Règles. Produit : $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ (on additionne les exposants). Quotient : $\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ (on soustrait les exposants).

Ces règles restent vraies quand les exposants sont négatifs.

Calcul	Exposants	Résultat
$10^3 \times 10^5$	$3 + 5 = 8$	$10^8$
$10^4 \times 10^{-6}$	$4 + (-6) = -2$	$10^{-2}$
$\dfrac{10^7}{10^3}$	$7 - 3 = 4$	$10^4$
$\dfrac{10^2}{10^{-5}}$	$2 - (-5) = 7$	$10^7$

💡 Pourquoi on soustrait : $\dfrac{10^5}{10^2} = \dfrac{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}{10 \times 10} = 10^3$ . Deux facteurs du haut se simplifient avec les deux du bas.

Multiplier un nombre par une puissance de 10

Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs :

vers la droite si l'exposant est positif : $3{,}72 \times 10^4 = 37\,200$ ;
vers la gauche si l'exposant est négatif : $3{,}72 \times 10^{-3} = 0{,}003\,72$ .

4. La notation scientifique

4.1 Définition

Définition. La notation scientifique d'un nombre positif est son écriture $a \times 10^n$ , où :

$a$ est un nombre décimal avec un seul chiffre, non nul, avant la virgule ( $1 \leqslant a < 10$ ) ;
$n$ est un entier relatif.

Écriture	Notation scientifique ?	Pourquoi
$1{,}5 \times 10^{11}$	oui	$1{,}5$ est entre $1$ et $10$
$15 \times 10^{10}$	non	$15$ est trop grand
$0{,}15 \times 10^{12}$	non	$0{,}15$ est plus petit que $1$

Ces trois écritures désignent pourtant le même nombre.

4.2 Méthode : passer en notation scientifique

Écrire un nombre en notation scientifique.

Le signe de l'exposant dépend de la taille du nombre :

nombre plus grand que $10$ : exposant positif ;
nombre plus petit que $1$ : exposant négatif.

Nombre	Virgule après le 1er chiffre non nul	Rangs	Notation scientifique
$45\,600$	$4{,}56$	$4$ , grand nombre	$4{,}56 \times 10^4$
$150\,000\,000\,000$	$1{,}5$	$11$ , grand nombre	$1{,}5 \times 10^{11}$
$0{,}003\,72$	$3{,}72$	$3$ , petit nombre	$3{,}72 \times 10^{-3}$
$0{,}000\,000\,1$	$1$	$7$ , petit nombre	$1 \times 10^{-7}$

💡 Vérifie toujours en repartant dans l'autre sens : $4{,}56 \times 10^4$ , la virgule part de $4$ rangs vers la droite, on retrouve $45\,600$ .

5. Comparer et calculer en notation scientifique

5.1 Comparer

On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre.
À exposants égaux, on compare les nombres placés devant.

Exemples : $3{,}2 \times 10^5 < 1{,}1 \times 10^7$ , car $5 < 7$ . $4{,}8 \times 10^{-3} > 9{,}9 \times 10^{-4}$ , car $-3 > -4$ .

⚠️ Cette méthode ne marche que si les deux nombres sont vraiment en notation scientifique.

5.2 Multiplier et diviser

On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre.

Exemple résolu. Calculer $A = (4 \times 10^5) \times (6 \times 10^{-2})$ et donner le résultat en notation scientifique.

Étape 1. On regroupe.

$A = (4 \times 6) \times (10^5 \times 10^{-2}) = 24 \times 10^3$

Étape 2. $24$ n'est pas entre $1$ et $10$ : on écrit $24 = 2{,}4 \times 10^1$ .

$A = 2{,}4 \times 10^1 \times 10^3$

$\boxed{A = 2{,}4 \times 10^4}$

💡 À la calculatrice, la touche $\times 10^x$ (ou EXP) sert à taper une puissance de $10$ : pour $4 \times 10^5$ , tape $4$ , puis $\times 10^x$ , puis $5$ .

6. Les préfixes des unités

Préfixe	Symbole	Puissance de 10	Exemple
giga	G	$10^9$	$1$ Go $= 10^9$ octets
méga	M	$10^6$	$1$ MW $= 10^6$ W
kilo	k	$10^3$	$1$ km $= 10^3$ m
milli	m	$10^{-3}$	$1$ mm $= 10^{-3}$ m
micro	µ	$10^{-6}$	$1$ µm $= 10^{-6}$ m
nano	n	$10^{-9}$	$1$ nm $= 10^{-9}$ m

Exemple : un virus de $100$ nm mesure $100 \times 10^{-9}$ m $= 10^2 \times 10^{-9}$ m $= 10^{-7}$ m.

7. Les erreurs les plus fréquentes

❌ Erreur	✅ Correction	Pourquoi
$10^{-3} = -1\,000$	$10^{-3} = 0{,}001$	Exposant négatif = inverse, pas nombre négatif
$10^3 \times 10^4 = 10^{12}$	$10^7$	On additionne les exposants
$0{,}003\,72 = 3{,}72 \times 10^{3}$	$3{,}72 \times 10^{-3}$	Petit nombre : exposant négatif
$24 \times 10^3$ est une notation scientifique	$2{,}4 \times 10^4$	Un seul chiffre non nul avant la virgule

8. Vérifie que tu as compris

Compare tes résultats avec les réponses à la fin du cours.

Écrire $10^{-5}$ sous forme décimale.
Calculer $10^6 \times 10^{-9}$ .
Calculer $\dfrac{10^3}{10^{-2}}$ .
Écrire $7\,300\,000$ en notation scientifique.
Écrire $0{,}000\,052$ en notation scientifique.
Calculer $(3 \times 10^4) \times (5 \times 10^3)$ en notation scientifique.

9. Résoudre un problème

Énoncé. La lumière parcourt $3 \times 10^8$ m en une seconde. Le Soleil est à $1{,}5 \times 10^{11}$ m de la Terre. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle pour nous parvenir ?

Étape 1. Le temps est la distance divisée par la vitesse.

$t = \dfrac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8}$

Étape 2. On sépare les nombres et les puissances de $10$ .

$t = \dfrac{1{,}5}{3} \times \dfrac{10^{11}}{10^8} = 0{,}5 \times 10^3$

Étape 3. On conclut : $t = 500$ s, soit $8$ min $20$ s.

Quand tu regardes le Soleil se coucher, tu vois la lumière qu'il a émise il y a plus de huit minutes.

📌 À retenir

$10^n$ : un $1$ suivi de $n$ zéros. $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ : le $1$ est le $n$ -ième chiffre après la virgule.
Un exposant négatif donne un nombre petit, pas un nombre négatif.
$10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ et $\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ .
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$ . Grand nombre, exposant positif ; petit nombre, exposant négatif.
Comparer : d'abord les exposants. Calculer : les nombres ensemble, les puissances de $10$ ensemble, puis on remet en notation scientifique.
Préfixes : giga $10^9$ , méga $10^6$ , kilo $10^3$ , milli $10^{-3}$ , micro $10^{-6}$ , nano $10^{-9}$ .

Réponses du « Vérifie que tu as compris »

$10^{-5} = 0{,}000\,01$
$10^{6 + (-9)} = 10^{-3}$
$10^{3 - (-2)} = 10^5$
$7{,}3 \times 10^6$
$5{,}2 \times 10^{-5}$
$15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$

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