Les Puissances

I. Définition des puissances d'exposant positif

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance est une écriture simplifiée d'un produit de facteurs identiques. Au lieu d'écrire $3 \times 3 \times 3 \times 3$, on écrit $3^4$.

• $a$ s'appelle la base
• $n$ s'appelle l'exposant
• $a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ » ou « $a$ exposant $n$ »

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Cas particuliers importants

⚠️ Attention : $a^n$ ne signifie pas $a \times n$. Par exemple $2^3 = 2\times2\times2 = 8$ et non $2 \times 3 = 6$.

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Exemple résolu pas à pas

Calculons $5^3$ et $(-2)^4$ :

• $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = \mathbf{125}$
• $(-2)^4 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = 4 \times 4 = \mathbf{16}$

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📐 Signe d'une puissance d'un nombre négatif :

$(\text{nombre négatif})^{n} \xrightarrow{n \text{ pair}} \text{résultat } \textbf{positif}$ $(\text{nombre négatif})^{n} \xrightarrow{n \text{ impair}} \text{résultat } \textbf{négatif}$

Exemples : $(-3)^2 = +9$ ✅   mais   $(-3)^3 = -27$ ✅

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⚠️ Piège classique : $-3^2 \neq (-3)^2$. En effet, $-3^2 = -(3^2) = -9$ tandis que $(-3)^2 = 9$.

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II. Multiplier des puissances d'un même nombre

La règle du produit

Propriété : Pour un nombre $a$ et deux entiers naturels $m$ et $n$ :

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Pourquoi ? $a^3 \times a^2 = \underbrace{(a\times a\times a)}_{3} \times \underbrace{(a\times a)}_{2} = \underbrace{a\times a\times a\times a\times a}_{5} = a^5$

Exemple : $7^3 \times 7^4 = 7^{3+4} = 7^7$

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🔢 Processus de calcul :

Calculer $2^3 \times 2^5$

➡️ Étape 1 : Vérifier que la base est identique → oui, c'est $2$

➡️ Étape 2 : Additionner les exposants → $3 + 5 = 8$

➡️ Étape 3 : Écrire le résultat → $2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256$

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⚠️ Erreur fréquente : $2^3 \times 2^5 \neq 2^{15}$. On additionne les exposants, on ne les multiplie pas !

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III. Multiplier des puissances de même exposant

La règle du produit de bases différentes

Propriété : Pour deux nombres $a$ et $b$ et un entier naturel $n$ :

$a^n \times b^n = (a \times b)^n$

Pourquoi ? $a^3 \times b^3 = (a\times a\times a)\times(b\times b\times b) = (a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b) = (a\times b)^3$

Exemple : $3^4 \times 2^4 = (3\times 2)^4 = 6^4 = 1\,296$

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IV. Tableau récapitulatif des formules

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V. Résoudre des problèmes avec les puissances

Exemple complet résolu

Problème : Une bactérie se divise en 2 toutes les heures. On commence avec une seule bactérie. Combien y en a-t-il après 10 heures ?

Étape 1 → Après 1h : $2$ bactéries = $2^1$ Étape 2 → Après 2h : $2 \times 2 = 4$ bactéries = $2^2$ Étape 3 → Après 3h : $2 \times 2 \times 2 = 8$ bactéries = $2^3$ Étape 4 → Après $n$ heures : $2^n$ bactéries Étape 5 → Après 10h : $2^{10} = \mathbf{1\,024}$ bactéries

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Simplifier une expression

Exercice : Simplifier $A = 5^3 \times 4^3 \times 2^3$.

• Étape 1 : Les trois facteurs ont le même exposant $3$ → on applique $a^n \times b^n = (ab)^n$
• Étape 2 : $A = (5 \times 4 \times 2)^3 = 40^3$
• Étape 3 : $A = 40^3 = 64\,000$

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Écriture avec des puissances de 10

Les puissances de 10 servent à écrire les très grands et très petits nombres :

• La distance Terre-Soleil ≈ $150\,000\,000$ km $= 15 \times 10^7$ km
• $10^2 \times 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 = 100\,000$

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📌 À retenir

1. $a^n$ signifie multiplier $a$ par lui-même $n$ fois ; $a^0 = 1$ et $a^1 = a$
2. Même base : on additionne les exposants → $a^m \times a^n = a^{m+n}$
3. Même exposant : on multiplie les bases → $a^n \times b^n = (a \times b)^n$
4. Signe : un nombre négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif, à une puissance impaire un résultat négatif
5. Ne pas confondre $-3^2 = -9$ et $(-3)^2 = +9$ : les parenthèses changent tout !