Les Puissances
I. Définition des puissances d'exposant positif
Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une écriture simplifiée d'un produit de facteurs identiques. Au lieu d'écrire 3×3×3×3, on écrit 34.
Définition : Pour un nombre a et un entier naturel n⩾2, on note an le produit de n facteurs tous égaux à a :
an=n facteursa×a×a×⋯×a
- a s'appelle la base
- n s'appelle l'exposant
- an se lit « a puissance n » ou « a exposant n »
Cas particuliers importants
| Écriture | Signification | Remarque |
|---|
| a1 | a | Tout nombre puissance 1 vaut lui-même |
| a0 | 1 | Tout nombre non nul puissance 0 vaut 1 |
| a2 | a×a | Se lit « a au carré » |
| a3 | a×a×a | Se lit « a au cube » |
| 10n | 1n zeˊros00…0 | Puissances de 10 |
⚠️ Attention : an ne signifie pas a×n. Par exemple 23=2×2×2=8 et non 2×3=6.
Exemple résolu pas à pas
Calculons 53 et (−2)4 :
- 53=5×5×5=25×5=125
- (−2)4=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=4×4=16
📐 Signe d'une puissance d'un nombre négatif :
(nombre neˊgatif)nn pairreˊsultat positif
(nombre neˊgatif)nn impairreˊsultat neˊgatif
Exemples : (−3)2=+9 ✅ mais (−3)3=−27 ✅
⚠️ Piège classique : −32=(−3)2. En effet, −32=−(32)=−9 tandis que (−3)2=9.
II. Multiplier des puissances d'un même nombre
La règle du produit
Propriété : Pour un nombre a et deux entiers naturels m et n :
am×an=am+n
On garde la base et on additionne les exposants.
Pourquoi ? a3×a2=3(a×a×a)×2(a×a)=5a×a×a×a×a=a5
Exemple : 73×74=73+4=77
🔢 Processus de calcul :
Calculer 23×25
➡️ Étape 1 : Vérifier que la base est identique → oui, c'est 2
➡️ Étape 2 : Additionner les exposants → 3+5=8
➡️ Étape 3 : Écrire le résultat → 23×25=28=256
⚠️ Erreur fréquente : 23×25=215. On additionne les exposants, on ne les multiplie pas !
III. Multiplier des puissances de même exposant
La règle du produit de bases différentes
Propriété : Pour deux nombres a et b et un entier naturel n :
an×bn=(a×b)n
On multiplie les bases et on garde le même exposant.
Pourquoi ? a3×b3=(a×a×a)×(b×b×b)=(a×b)×(a×b)×(a×b)=(a×b)3
Exemple : 34×24=(3×2)4=64=1296
IV. Tableau récapitulatif des formules
| Notion | Formule (LaTeX) | Exemple |
|---|
| Définition | an=a×a×⋯×a (n fois) | 43=4×4×4=64 |
| Exposant 0 | a0=1 (si a=0) | 70=1 |
| Exposant 1 | a1=a | 51=5 |
| Produit même base | am×an=am+n | 32×34=36=729 |
| Produit même exposant | an×bn=(a×b)n | 53×23=103=1000 |
| Puissances de 10 | 10n=1n00…0 | 104=10000 |
V. Résoudre des problèmes avec les puissances
Exemple complet résolu
Problème : Une bactérie se divise en 2 toutes les heures. On commence avec une seule bactérie. Combien y en a-t-il après 10 heures ?
Étape 1 → Après 1h : 2 bactéries = 21
Étape 2 → Après 2h : 2×2=4 bactéries = 22
Étape 3 → Après 3h : 2×2×2=8 bactéries = 23
Étape 4 → Après n heures : 2n bactéries
Étape 5 → Après 10h : 210=1024 bactéries
Simplifier une expression
Exercice : Simplifier A=53×43×23.
- Étape 1 : Les trois facteurs ont le même exposant 3 → on applique an×bn=(ab)n
- Étape 2 : A=(5×4×2)3=403
- Étape 3 : A=403=64000
Écriture avec des puissances de 10
Les puissances de 10 servent à écrire les très grands et très petits nombres :
- La distance Terre-Soleil ≈ 150000000 km =15×107 km
- 102×103=102+3=105=100000
📌 À retenir
- an signifie multiplier a par lui-même n fois ; a0=1 et a1=a
- Même base : on additionne les exposants → am×an=am+n
- Même exposant : on multiplie les bases → an×bn=(a×b)n
- Signe : un nombre négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif, à une puissance impaire un résultat négatif
- Ne pas confondre −32=−9 et (−3)2=+9 : les parenthèses changent tout !