Puissances — Le carré et le cube

1. Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance est une écriture raccourcie pour exprimer un produit répété d'un même nombre par lui-même.

Au lieu d'écrire une longue multiplication, on utilise un petit nombre en haut à droite appelé exposant.

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Le carré d'un nombre (exposant 2)

Le carré d'un nombre $a$, noté $a^2$, est le produit de $a$ par lui-même :

$a^2 = a \times a$

📐 Pourquoi « carré » ? Parce que $a^2$ correspond à l'aire d'un carré de côté $a$.

Exemple : $5^2 = 5 \times 5 = 25$

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Le cube d'un nombre (exposant 3)

Le cube d'un nombre $a$, noté $a^3$, est le produit de $a$ par lui-même trois fois :

$a^3 = a \times a \times a$

📦 Pourquoi « cube » ? Parce que $a^3$ correspond au volume d'un cube d'arête $a$.

Exemple : $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

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🔢 Comprendre la notation — schéma

$\underbrace{5}\_{\text{base}} \, ^{\underbrace{3}\_{\text{exposant}}} = \underbrace{5 \times 5 \times 5}\_{\text{on multiplie 5 par lui-même 3 fois}} = 125$

➡️ Base = le nombre qu'on multiplie ➡️ Exposant = combien de fois on le multiplie par lui-même

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2. Les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10

📋 Tableau des carrés à connaître par cœur

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Le cube de 10

$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$

3. Écrire un nombre sous forme de puissance

Parfois, on te demande le chemin inverse : reconnaître qu'un nombre est un carré parfait ou un cube parfait et l'écrire avec un exposant.

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🔄 Méthode — Écrire sous forme de puissance

Étape 1 → Cherche quel nombre, multiplié par lui-même (2 ou 3 fois), donne le résultat. Étape 2 → Écris-le avec l'exposant $2$ ou $3$.

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Exemple résolu : Écrire $81$ sous la forme d'une puissance.

• Étape 1 → On cherche : quel nombre au carré donne $81$ ? On sait que $9 \times 9 = 81$. ✅
• Étape 2 → Donc $81 = 9^2$.

Autre exemple : Écrire $27$ sous la forme d'un cube.

• Étape 1 → $3 \times 3 \times 3 = 27$ ✅
• Étape 2 → Donc $27 = 3^3$.

4. Calculer des expressions contenant des puissances

Règle essentielle de priorité

Ordre : Puissances → Multiplications/Divisions → Additions/Soustractions

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Exemple numérique résolu pas à pas

Calculer $A = 3 \times 4^2 + 2^3$

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Autre exemple

Calculer $B = 5^2 - 3^2$

• $5^2 = 25$ et $3^2 = 9$
• $B = 25 - 9 = 16$

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⚠️ Attention aux pièges

Ne confonds jamais :

• $3^2 = 3 \times 3 = 9$ → on multiplie $3$ par lui-même
• $3 \times 2 = 6$ → on multiplie $3$ par $2$

L'exposant n'est pas un facteur, c'est un nombre de répétitions !

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📌 À retenir

• Le carré d'un nombre $a$ est $a^2 = a \times a$ ; le cube est $a^3 = a \times a \times a$.
• Connais par cœur les carrés de $0$ à $12$ ($0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$) et le cube de $10$ ($10^3 = 1\,000$).
• Pour écrire un nombre en puissance, cherche quelle base multipliée 2 ou 3 fois donne ce nombre.
• Dans un calcul, les puissances se calculent en premier, avant les multiplications et les additions.
• Ne pas confondre $a^2$ (= $a \times a$) avec $a \times 2$ (= $2a$) : ce n'est pas du tout la même chose !