Puissances — Le carré et le cube
1. Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une écriture raccourcie pour exprimer un produit répété d'un même nombre par lui-même.
Au lieu d'écrire une longue multiplication, on utilise un petit nombre en haut à droite appelé exposant.
Le carré d'un nombre (exposant 2)
Le carré d'un nombre a, noté a2, est le produit de a par lui-même :
a2=a×a
On lit « a au carré » ou « a puissance 2 ».
📐 Pourquoi « carré » ? Parce que a2 correspond à l'aire d'un carré de côté a.
Exemple : 52=5×5=25
Le cube d'un nombre (exposant 3)
Le cube d'un nombre a, noté a3, est le produit de a par lui-même trois fois :
a3=a×a×a
On lit « a au cube » ou « a puissance 3 ».
📦 Pourquoi « cube » ? Parce que a3 correspond au volume d'un cube d'arête a.
Exemple : 43=4×4×4=64
🔢 Comprendre la notation — schéma
5_base3_exposant=5×5×5_on multiplie 5 par lui-meˆme 3 fois=125
➡️ Base = le nombre qu'on multiplie
➡️ Exposant = combien de fois on le multiplie par lui-même
| Notion | Formule (LaTeX) | Exemple |
|---|
| Carré d'un nombre a | a2=a×a | 72=7×7=49 |
| Cube d'un nombre a | a3=a×a×a | 33=3×3×3=27 |
| Cas particulier : a1 | a1=a | 61=6 |
2. Les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10
📋 Tableau des carrés à connaître par cœur
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| n2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
💡 Astuce : ces résultats reviennent très souvent en calcul, en géométrie et plus tard au lycée. Apprends-les !
Le cube de 10
103=10×10×10=1000
Retiens : le cube de 10, c'est mille.
3. Écrire un nombre sous forme de puissance
Parfois, on te demande le chemin inverse : reconnaître qu'un nombre est un carré parfait ou un cube parfait et l'écrire avec un exposant.
🔄 Méthode — Écrire sous forme de puissance
Étape 1 → Cherche quel nombre, multiplié par lui-même (2 ou 3 fois), donne le résultat.
Étape 2 → Écris-le avec l'exposant 2 ou 3.
Exemple résolu : Écrire 81 sous la forme d'une puissance.
- Étape 1 → On cherche : quel nombre au carré donne 81 ? On sait que 9×9=81. ✅
- Étape 2 → Donc 81=92.
Autre exemple : Écrire 27 sous la forme d'un cube.
- Étape 1 → 3×3×3=27 ✅
- Étape 2 → Donc 27=33.
4. Calculer des expressions contenant des puissances
Règle essentielle de priorité
⚠️ Les puissances se calculent AVANT les multiplications et les additions.
Ordre : Puissances → Multiplications/Divisions → Additions/Soustractions
Exemple numérique résolu pas à pas
Calculer A=3×42+23
| Étape | Calcul | Explication |
|---|
| Étape 1 | On repère les puissances : 42 et 23 | Priorité aux puissances |
| Étape 2 | 42=4×4=16 | On calcule le carré |
| Étape 3 | 23=2×2×2=8 | On calcule le cube |
| Étape 4 | A=3×16+8 | On remplace |
| Étape 5 | A=48+8 | Multiplication avant addition |
| Résultat | A=56 ✅ | |
Autre exemple
Calculer B=52−32
- 52=25 et 32=9
- B=25−9=16
On remarque que 16=42 : le résultat est lui-même un carré parfait ! 😉
⚠️ Attention aux pièges
Ne confonds jamais :
- 32=3×3=9 → on multiplie 3 par lui-même
- 3×2=6 → on multiplie 3 par 2
L'exposant n'est pas un facteur, c'est un nombre de répétitions !
📌 À retenir
- Le carré d'un nombre a est a2=a×a ; le cube est a3=a×a×a.
- Connais par cœur les carrés de 0 à 12 (0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144) et le cube de 10 (103=1000).
- Pour écrire un nombre en puissance, cherche quelle base multipliée 2 ou 3 fois donne ce nombre.
- Dans un calcul, les puissances se calculent en premier, avant les multiplications et les additions.
- Ne pas confondre a2 (= a×a) avec a×2 (= 2a) : ce n'est pas du tout la même chose !