Avant de définir la racine carrée, rappelons ce qu'est le carré d'un nombre : c'est ce nombre multiplié par lui-même.
Nombre
Carré
Écriture
1
1
12=1
2
4
22=4
3
9
32=9
4
16
42=16
5
25
52=25
6
36
62=36
7
49
72=49
8
64
82=64
9
81
92=81
10
100
102=100
Les nombres 1,4,9,16,25,36… sont appelés des carrés parfaits. Apprends-les par cœur, ils te seront très utiles !
2. Définition de la racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif a, notée a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
Autrement dit : si b≥0 et b2=a, alors b=a.
⚠️ La racine carrée n'existe que pour les nombres positifs ou nuls. On ne peut pas calculer −4, cela n'a pas de sens en 4ème.
Exemples fondamentaux
Notation
Signification
Résultat
Vérification
9
Quel nombre positif au carré donne 9 ?
3
32=9 ✅
25
Quel nombre positif au carré donne 25 ?
5
52=25 ✅
0
Quel nombre positif au carré donne 0 ?
0
02=0 ✅
1
Quel nombre positif au carré donne 1 ?
1
12=1 ✅
100
Quel nombre positif au carré donne 100 ?
10
102=100 ✅
Propriétés essentielles
a≥0 → le résultat est toujours positif (ou nul)
(a)2=a → si on met la racine carrée au carré, on retrouve le nombre de départ
a2=a (quand a≥0) → la racine carrée « annule » le carré
3. Racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait
Que vaut 2 ? Aucun nombre entier au carré ne donne 2. On utilise alors la calculatrice :
2≈1,414
Ce résultat est une valeur approchée. Le nombre 2 possède une infinité de décimales sans motif qui se répète : on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction. On dit que c'est un nombre irrationnel (ce qui signifie « qui ne peut pas s'écrire comme une fraction »).
💡 On laisse souvent le résultat sous la forme 2 : c'est la valeur exacte.
4. Encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifs
La méthode
Quand a ne tombe pas juste, on peut l'encadrer entre deux nombres entiers qui se suivent (= consécutifs).
📐 Processus d'encadrement de a
🔢 Nombre a → 🔍 Trouver deux carrés parfaits n2 et (n+1)2 tels que n2<a<(n+1)2 → ✅ Conclure : n<a<n+1
Exemple résolu pas à pas : encadrer 50
Étape 1 → Je cherche les carrés parfaits autour de 50 :
72=49
82=64
Étape 2 → Je vérifie l'encadrement de 50 :
49<50<64
Étape 3 → J'écris avec les carrés :
72<50<82
Étape 4 → J'en déduis l'encadrement de 50 :
7<50<8
✅ Vérification à la calculatrice : 50≈7,07, c'est bien entre 7 et 8.
Deuxième exemple : encadrer 20
42=16 et 52=25
16<20<25 donc 42<20<52
4<20<5
Troisième exemple : encadrer 5
22=4 et 32=9
4<5<9 donc 22<5<32
2<5<3
5. Cas particuliers et pièges à éviter
❌ Erreur fréquente
✅ Correction
9=±3
9=3 (toujours positif)
4+9=4+9
13=2+3=5 car 52=25=13
−16=−4
−16n'existe pas
⚠️ Attention : a+b=a+b. C'est un piège classique !
📌 À retenir
Définition : a est le nombre positif dont le carré vaut a, c'est-à-dire (a)2=a.
La racine carrée n'existe que pour a≥0 : on ne calcule jamais la racine carrée d'un nombre négatif.
Connaître ses carrés parfaits (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100) permet de calculer des racines carrées sans calculatrice.
Pour encadrer a : trouver n tel que n2<a<(n+1)2, alors n<a<n+1.
Piège : le résultat de a est toujours positif, et a+b=a+b.
Révise ce chapitre avec KlarIA
Tuteur qui t'explique pas à pas, quiz pour t'entraîner, flashcards pour mémoriser. Gratuit.