Racine carrée

1. Qu'est-ce qu'un carré parfait ?

Avant de définir la racine carrée, rappelons ce qu'est le carré d'un nombre : c'est ce nombre multiplié par lui-même.

Les nombres $1, 4, 9, 16, 25, 36…$ sont appelés des carrés parfaits. Apprends-les par cœur, ils te seront très utiles !

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2. Définition de la racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$.

Autrement dit : si $b \geq 0$ et $b^2 = a$, alors $b = \sqrt{a}$.

Exemples fondamentaux

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Propriétés essentielles

• $\sqrt{a} \geq 0$ → le résultat est toujours positif (ou nul)
• $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ → si on met la racine carrée au carré, on retrouve le nombre de départ
• $\sqrt{a^2} = a$ (quand $a \geq 0$) → la racine carrée « annule » le carré

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3. Racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait

Que vaut $\sqrt{2}$ ? Aucun nombre entier au carré ne donne $2$. On utilise alors la calculatrice :

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$

Ce résultat est une valeur approchée. Le nombre $\sqrt{2}$ possède une infinité de décimales sans motif qui se répète : on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction. On dit que c'est un nombre irrationnel (ce qui signifie « qui ne peut pas s'écrire comme une fraction »).

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4. Encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifs

La méthode

Quand $\sqrt{a}$ ne tombe pas juste, on peut l'encadrer entre deux nombres entiers qui se suivent (= consécutifs).

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📐 Processus d'encadrement de $\sqrt{a}$

🔢 Nombre $a$ → 🔍 Trouver deux carrés parfaits $n^2$ et $(n+1)^2$ tels que $n^2 < a < (n+1)^2$ → ✅ Conclure : $n < \sqrt{a} < n+1$

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Exemple résolu pas à pas : encadrer $\sqrt{50}$

Étape 1 → Je cherche les carrés parfaits autour de $50$ :

• $7^2 = 49$
• $8^2 = 64$

Étape 2 → Je vérifie l'encadrement de $50$ :

$49 < 50 < 64$

Étape 3 → J'écris avec les carrés :

$7^2 < 50 < 8^2$

Étape 4 → J'en déduis l'encadrement de $\sqrt{50}$ :

$7 < \sqrt{50} < 8$

✅ Vérification à la calculatrice : $\sqrt{50} \approx 7{,}07$, c'est bien entre $7$ et $8$.

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Deuxième exemple : encadrer $\sqrt{20}$

• $4^2 = 16$ et $5^2 = 25$
• $16 < 20 < 25$ donc $4^2 < 20 < 5^2$

$\boxed{4 < \sqrt{20} < 5}$

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Troisième exemple : encadrer $\sqrt{5}$

• $2^2 = 4$ et $3^2 = 9$
• $4 < 5 < 9$ donc $2^2 < 5 < 3^2$

$\boxed{2 < \sqrt{5} < 3}$

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5. Cas particuliers et pièges à éviter

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📌 À retenir

1. Définition : $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$, c'est-à-dire $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.
2. La racine carrée n'existe que pour $a \geq 0$ : on ne calcule jamais la racine carrée d'un nombre négatif.
3. Connaître ses carrés parfaits ($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$) permet de calculer des racines carrées sans calculatrice.
4. Pour encadrer $\sqrt{a}$ : trouver $n$ tel que $n^2 < a < (n+1)^2$, alors $n < \sqrt{a} < n+1$.
5. Piège : le résultat de $\sqrt{a}$ est toujours positif, et $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.