Racine carrée

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Fiche de révision

Terme	Définition
Racine carrée de $a$	C'est le nombre positif qui, élevé au carré, donne $a$ . On le note $\sqrt{a}$ .
Carré parfait	Un entier dont la racine carrée est un entier. Ex : $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…$
Condition d'existence	$\sqrt{a}$ n'existe (dans les réels) que si $a \geq 0$ . On ne peut pas calculer $\sqrt{-3}$ .

💡 $\sqrt{a}$ est toujours positif (ou nul).

Formule	Exemple
$\sqrt{a}$ est le nombre positif tel que $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$	$\left(\sqrt{9}\right)^2 = 9$
Si $x \geq 0$ et $x^2 = a$ , alors $x = \sqrt{a}$	$5^2 = 25$ donc $\sqrt{25} = 5$

$\sqrt{0}$	$\sqrt{1}$	$\sqrt{4}$	$\sqrt{9}$	$\sqrt{16}$	$\sqrt{25}$	$\sqrt{36}$	$\sqrt{49}$	$\sqrt{64}$	$\sqrt{81}$	$\sqrt{100}$	$\sqrt{121}$	$\sqrt{144}$
$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

Objectif : trouver l'entier $p$ tel que $p \leq \sqrt{n} < p+1$ .

Étape	Exemple avec $\sqrt{50}$
1. Repérer les deux carrés parfaits qui encadrent $n$	$49 < 50 < 64$
2. Écrire sous forme de carrés : $p^2 < n < (p+1)^2$	$7^2 < 50 < 8^2$
3. Prendre la racine carrée (l'ordre est conservé)	$\sqrt{7^2} < \sqrt{50} < \sqrt{8^2}$
4. Conclure	$7 < \sqrt{50} < 8$

On peut conserver l'ordre des inégalités car la racine carrée est une fonction croissante : si $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

❌ Erreur fréquente	✅ Correction
Écrire $\sqrt{9} = \pm 3$	$\sqrt{9} = 3$ (toujours positif)
Penser que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$	FAUX ! $\sqrt{4+9} = \sqrt{13} \neq 2+3$
Calculer $\sqrt{-4}$	Impossible : pas de racine carrée d'un nombre négatif
Confondre $\sqrt{16}$ et $\dfrac{16}{2}$	$\sqrt{16} = 4$ et non $8$

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ .
$\sqrt{a}$ n'existe pas si $a < 0$ .
Apprendre les carrés parfaits de $0^2$ à $12^2$ permet d'encadrer rapidement.
Pour encadrer $\sqrt{n}$ , on cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent $n$ .
$\sqrt{}$ ne se distribue pas sur une somme ni sur une différence.

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