Repérage sur une droite et dans le plan

1. Repérage sur une droite graduée

1.1 Qu'est-ce qu'une droite graduée ?

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

• un point d'origine (repéré par le nombre $0$)
• un sens (indiqué par une flèche, généralement vers la droite)
• une unité de longueur (la distance entre deux graduations consécutives)

On parle aussi d'axe gradué.

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1.2 L'abscisse d'un point

L'abscisse d'un point est le nombre relatif (positif ou négatif) qui lui est associé sur la droite graduée.

On note : si le point $A$ a pour abscisse $3{,}5$, on écrit $A(3{,}5)$.

• Les nombres positifs sont placés à droite de l'origine
• Les nombres négatifs sont placés à gauche de l'origine

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🔢 Représentation d'une droite graduée :

⬅️ nombres négatifs — origine O — nombres positifs ➡️

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1.3 Placer et repérer un nombre relatif

Méthode pour placer un point sur une droite graduée :

📐 Exemple résolu : Placer le point $M\left(-2{,}5\right)$ sur une droite graduée.

• Le nombre $-2{,}5$ est négatif → on va vers la gauche
• On se place à 2 unités et demie à gauche de l'origine
• Le point $M$ est situé exactement à mi-chemin entre $-2$ et $-3$

Pour repérer un point déjà placé, on fait l'inverse : on lit la graduation correspondante et on n'oublie pas le signe négatif si le point est à gauche de $0$.

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2. Repérage dans le plan

2.1 Le repère orthogonal

Pour repérer un point dans le plan (une surface), une seule droite ne suffit pas. On utilise deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent en un même point d'origine.

Un repère orthogonal du plan est constitué de :

• un point d'origine $O$
• un axe horizontal appelé axe des abscisses (souvent noté $(Ox)$)
• un axe vertical appelé axe des ordonnées (souvent noté $(Oy)$)
• ces deux axes sont perpendiculaires (ils forment un angle de $90°$)

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2.2 Les coordonnées d'un point

Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres appelés ses coordonnées :

$M\left(x \, ; \, y\right)$

• $x$ est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal)
• $y$ est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical)

⚠️ L'ordre compte ! On écrit toujours l'abscisse en premier, puis l'ordonnée, séparées par un point-virgule.

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2.3 Lire les coordonnées d'un point

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📏 Méthode : Lire les coordonnées d'un point 📏

Étape 1 → Depuis le point, tracer (ou imaginer) une ligne verticale vers l'axe horizontal ↓ On lit la valeur sur l'axe des abscisses → c'est $x$

Étape 2 → Depuis le point, tracer (ou imaginer) une ligne horizontale vers l'axe vertical ↓ On lit la valeur sur l'axe des ordonnées → c'est $y$

Étape 3 → Écrire $M(x\,;\,y)$

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2.4 Placer un point de coordonnées données

Méthode pour placer $A(3\,;\,-2)$ :

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2.5 Exemple complet résolu pas à pas

📐 Exercice : On donne les points $A(2\,;\,3)$, $B(-4\,;\,1)$ et $C(-1\,;\,-2{,}5)$.

Placement de $A(2\,;\,3)$ :

• Abscisse $= 2$ → on va 2 unités à droite de l'origine sur $(Ox)$
• Ordonnée $= 3$ → on monte 3 unités vers le haut sur $(Oy)$
• ✅ Le point $A$ est en haut à droite de l'origine

Placement de $B(-4\,;\,1)$ :

• Abscisse $= -4$ → on va 4 unités à gauche sur $(Ox)$
• Ordonnée $= 1$ → on monte 1 unité vers le haut sur $(Oy)$
• ✅ Le point $B$ est en haut à gauche de l'origine

Placement de $C(-1\,;\,-2{,}5)$ :

• Abscisse $= -1$ → 1 unité à gauche sur $(Ox)$
• Ordonnée $= -2{,}5$ → 2,5 unités vers le bas sur $(Oy)$
• ✅ Le point $C$ est en bas à gauche de l'origine

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2.6 Les cas particuliers

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📌 À retenir

1. Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un seul nombre relatif appelé son abscisse : $A(x)$
2. Les nombres négatifs sont à gauche de l'origine, les positifs à droite
3. Dans le plan, on utilise un repère orthogonal (deux axes perpendiculaires) et chaque point est repéré par deux coordonnées : $M(x\,;\,y)$
4. L'abscisse $x$ se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée $y$ sur l'axe vertical — l'ordre est essentiel !
5. Pour placer un point, on repère d'abord $x$ sur l'axe horizontal, puis $y$ sur l'axe vertical, et on vise leur intersection