Repérage sur une droite et dans le plan

1. Repérage sur une droite graduée

1.1 Qu'est-ce qu'une droite graduée ?

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

• Un point appelé origine (souvent noté $O$)
• Un sens (indiqué par une flèche, vers la droite)
• Une unité de longueur (l'écart régulier entre deux graduations)

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📏 Représentation d'une droite graduée :

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1.2 L'abscisse d'un point

L'abscisse d'un point est le nombre qui lui correspond sur la droite graduée. C'est « l'adresse » du point sur la droite.

On note : le point $A$ d'abscisse $3$ s'écrit $A(3)$.

• Les nombres à droite de l'origine sont positifs
• Les nombres à gauche de l'origine sont négatifs
• L'origine $O$ a pour abscisse $0$

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1.3 Lire et placer un point sur une droite graduée

✏️ Exemple résolu pas à pas — Lire une abscisse

Sur une droite graduée, le point $M$ se trouve à la 2ᵉ graduation après $1$, et chaque graduation vaut $0{,}5$.

• Étape 1 → Identifier l'unité entre deux graduations : ici $0{,}5$
• Étape 2 → Compter les graduations depuis l'origine : $1 + 2 \times 0{,}5 = 2$
• Étape 3 → Conclure : l'abscisse de $M$ est $2$, on écrit $M(2)$

✏️ Exemple — Placer un point

Placer le point $B\left(-1{,}5\right)$ sur la droite graduée :

• Étape 1 → Le nombre est négatif : on va à gauche de $O$
• Étape 2 → On repère $-1$ puis on avance d'une demi-unité vers la gauche
• Étape 3 → On place $B$ et on l'étiquette ✅

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2. Repérage dans le plan

2.1 Le repère orthogonal

Pour repérer un point dans le plan (une surface), il faut deux informations au lieu d'une seule. On utilise un repère orthogonal.

Un repère orthogonal est constitué de :

• Deux droites graduées perpendiculaires (elles forment un angle droit 📐)
• Un point commun appelé origine $O$
• La droite horizontale → axe des abscisses (axe $x$)
• La droite verticale → axe des ordonnées (axe $y$)

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📐 Schéma d'un repère orthogonal :

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2.2 Les coordonnées d'un point

Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres appelés coordonnées :

$\text{Point } A(\underbrace{x}_{\text{abscisse}} \; ; \; \underbrace{y}_{\text{ordonnée}})$

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2.3 Lire les coordonnées d'un point

✏️ Exemple résolu pas à pas

On veut lire les coordonnées du point $P$ placé dans un repère.

• Étape 1 → Depuis $P$, tracer (ou imaginer) une ligne verticale vers l'axe des abscisses → on lit $x = 4$
• Étape 2 → Depuis $P$, tracer une ligne horizontale vers l'axe des ordonnées → on lit $y = -2$
• Étape 3 → Écrire les coordonnées : $P(4 \; ; \; -2)$

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🔍 Méthode visuelle :

$P \xrightarrow{\text{descendre verticalement}} \text{axe } x \Rightarrow \text{abscisse } = 4$ $P \xrightarrow{\text{aller horizontalement}} \text{axe } y \Rightarrow \text{ordonnée } = -2$ $\Downarrow$ $\boxed{P(4 \; ; \; -2)}$

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2.4 Placer un point de coordonnées données

✏️ Exemple résolu — Placer $C(-3 \; ; \; 2)$

• Étape 1 → Sur l'axe des abscisses, repérer $-3$ (3 unités à gauche de $O$)
• Étape 2 → Depuis ce repère, monter verticalement de $2$ unités (ordonnée positive → vers le haut)
• Étape 3 → Marquer le point et écrire $C$ ✅

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2.5 Cas particuliers importants

Exemple : Le point $D(5 \; ; \; 0)$ est situé directement sur l'axe des abscisses.

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📌 À retenir

1. Sur une droite graduée, un point est repéré par un seul nombre : son abscisse. On écrit $A(3)$.
2. Dans le plan, on utilise un repère orthogonal (deux axes perpendiculaires) et chaque point a deux coordonnées : $M(x \; ; \; y)$.
3. L'abscisse ($x$) se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée ($y$) sur l'axe vertical — toujours dans cet ordre !
4. Pour lire des coordonnées, on projette le point sur chaque axe (verticalement puis horizontalement).
5. Pour placer un point, on repère d'abord l'abscisse sur l'axe $x$, puis on se déplace verticalement selon l'ordonnée.