Représentation de l'espace

1. Reconnaître les solides

Les solides déjà connus (rappels)

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Les nouveaux solides de 4ème

La pyramide est un solide dont :

• la base est un polygone (triangle, carré, pentagone…)
• les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point : le sommet principal (appelé aussi apex)
• la hauteur est le segment perpendiculaire à la base, allant du sommet principal au plan de la base

Le cône de révolution est un solide dont :

• la base est un disque
• la surface latérale est courbe, allant du cercle de base jusqu'au sommet
• la hauteur $h$ est le segment perpendiculaire à la base, reliant le sommet au centre du disque

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🔺 Structure d'une pyramide à base carrée :

🍦 Structure d'un cône de révolution :

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2. Représentations des solides

Le patron

Le patron d'un solide est le dessin à plat qu'on obtient en « dépliant » toutes ses faces. On peut ensuite le découper et le plier pour reconstruire le solide.

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La perspective cavalière

Pour dessiner un solide en 3D sur une feuille (2D), on utilise la perspective cavalière. Règles :

• Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin
• Les arêtes cachées sont tracées en pointillés
• Les longueurs des arêtes « fuyantes » (en profondeur) sont réduites (souvent divisées par 2)
• Les cercles vus en perspective deviennent des ellipses (ovales)

📐 Exemple : un cube en perspective cavalière a ses arêtes de profondeur inclinées (souvent à 30° ou 45°) et réduites.

3. Volume de la pyramide et du cône de révolution

Formule fondamentale

La formule est la même pour la pyramide et le cône :

$V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h$

Autrement dit, le volume d'une pyramide (ou d'un cône) vaut le tiers du volume du prisme (ou du cylindre) de même base et même hauteur.

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🔗 Lien pyramide / prisme :

$\text{Prisme} \xrightarrow{\div\, 3} \text{Pyramide}$

$V_{\text{prisme}} = \text{Base} \times h \quad \longrightarrow \quad V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times h$

$V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 \times h \quad \longrightarrow \quad V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$

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Exemple résolu pas à pas 📝

Étape 1 → Identifier la formule : $V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$

Étape 2 → Remplacer par les valeurs : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 7$

Étape 3 → Calculer : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 7 = \frac{63\pi}{3} = 21\pi$

Étape 4 → Donner la valeur approchée : $V \approx 21 \times 3{,}14 \approx 65{,}9 \text{ cm}^3$

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Deuxième exemple : pyramide 📝

Étape 1 → Aire de la base : $\mathcal{A} = 5^2 = 25 \text{ cm}^2$

Étape 2 → Volume : $V = \frac{1}{3} \times 25 \times 9 = \frac{225}{3} = 75 \text{ cm}^3$

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📌 À retenir

1. La pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires ; le cône de révolution a une base circulaire et une surface latérale courbe.
2. En perspective cavalière, les arêtes parallèles restent parallèles et les arêtes cachées sont en pointillés.
3. Le patron permet de passer de la représentation 3D au dessin 2D à plat (et inversement par pliage).
4. Formule clé : $V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h$, valable pour toute pyramide et tout cône de révolution.
5. Le volume d'une pyramide (ou d'un cône) est toujours le tiers de celui du prisme (ou cylindre) correspondant.