Représentation de l'espace 📐

1. La perspective cavalière

La perspective cavalière est une technique pour dessiner un solide en 3D sur une feuille (en 2D). Elle suit des règles précises :

• Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin
• Les arêtes cachées (à l'arrière) se dessinent en pointillés
• Les arêtes qui « partent en profondeur » sont tracées en oblique et réduites (souvent de moitié)
• Les cercles vus en profondeur deviennent des ellipses (ovales)

Les solides à connaître

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🔍 Reconnaître en perspective cavalière :

◻️ Cube → toutes arêtes égales, faces carrées

🔺 Prisme droit → deux triangles reliés par des rectangles

⭕ Cylindre → deux ellipses (cercles vus en perspective) reliées

2. Du patron à la perspective cavalière

Le patron d'un solide est le dessin à plat (en 2D) qu'on obtient en « dépliant » toutes ses faces. En le repliant, on reconstruit le solide.

Lien patron ↔ perspective : chaque face visible en perspective cavalière correspond à une face du patron.

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📦 Processus : du patron au solide

Patron à plat → 🔄 Pliage le long des arêtes → 📦 Solide en 3D → ✏️ Dessin en perspective cavalière

3. Calculer des volumes

Formules essentielles

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Exemple résolu pas à pas : volume d'un prisme droit

📐 Un prisme droit a pour base un triangle de base $b = 6$ cm et de hauteur $h_t = 4$ cm. La hauteur du prisme est $H = 10$ cm.

Étape 1 → Calculer l'aire de la base (triangle) :

$A_{\text{base}} = \frac{b \times h_t}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12\text{ cm}^2$

Étape 2 → Appliquer la formule du volume :

$V = A_{\text{base}} \times H = 12 \times 10 = 120\text{ cm}^3$

Étape 3 → Conclure : le volume du prisme est $120\text{ cm}^3$.

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Exemple résolu : volume d'un cylindre

⭕ Un cylindre a un rayon $r = 3$ cm et une hauteur $h = 7$ cm.

Étape 1 → Aire du disque de base :

$A = \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2$

Étape 2 → Volume :

$V = 9\pi \times 7 = 63\pi \approx 197{,}9\text{ cm}^3$

4. Convertir volumes et capacités

1 L = 1 dm³ — c'est la relation fondamentale à retenir !

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📏 Convertir : méthode

$\text{km}^3$ →(×1 000)→ $\text{hm}^3$ →(×1 000)→ $\text{dam}^3$ →(×1 000)→ $\text{m}^3$ →(×1 000)→ $\text{dm}^3$ →(×1 000)→ $\text{cm}^3$ →(×1 000)→ $\text{mm}^3$

Capacités : $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ · $1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3$ · $1\text{ hL} = 100\text{ L}$

Exemple : Convertir $2{,}5\text{ m}^3$ en litres.

$1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L}$, donc $2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\text{ L}$.

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📌 À retenir

1. La perspective cavalière représente un solide 3D sur papier : arêtes cachées en pointillés, arêtes parallèles conservées.
2. Le patron est le « dépliage » à plat d'un solide ; chaque face du patron correspond à une face du solide.
3. Formule clé commune : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$ (prisme droit et cylindre).
4. Volume du cube : $V = c^3$ — Aire du disque : $A = \pi \times r^2$ — Volume du cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$.
5. Conversion essentielle : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3$ (on multiplie par 1 000 entre chaque unité de volume).