Représenter Algébriquement et Graphiquement les Fonctions

1. Notion de fonction

1.1 Définition

Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un unique nombre $f(x)$.

• $x$ est la variable (ou antécédent)
• $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$
• L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f$ est définie s'appelle le domaine de définition $D_f$

Notation : $f : D_f \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$.

Exemple : $f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{2x+3}{x-1}$. Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ car on ne peut pas diviser par $0$.

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1.2 Domaine de définition

Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

Restrictions courantes :

• $\frac{A}{B}$ → il faut $B \neq 0$
• $\sqrt{A}$ → il faut $A \geqslant 0$

Exemple : $g(x) = \sqrt{2x - 6}$. Il faut $2x - 6 \geqslant 0$, soit $x \geqslant 3$. Donc $D_g = [3\,;\,+\infty[$.

2. Courbe représentative

2.1 Définition

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ du plan tels que :

$y = f(x) \quad \text{et} \quad x \in D_f$

C'est la courbe d'équation $y = f(x)$.

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2.2 Exploiter l'équation $y = f(x)$

Appartenance d'un point à la courbe :

Le point $A(a\,;\,b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $b = f(a)$.

Exemple : Soit $f(x) = x^2 - 3x + 1$. Le point $A(2\,;\,-1)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ?

$f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$. Comme $f(2) = -1$, le point $A(2\,;\,-1)$ appartient à la courbe ✔️

Calcul de coordonnées :

• Connaissant $x$, on calcule $y = f(x)$ (image)
• Connaissant $y$, on résout $f(x) = y$ pour trouver les antécédents

Exemple : Pour $f(x) = x^2 - 3x + 1$, quels sont les antécédents de $-1$ ?

$x^2 - 3x + 1 = -1 \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x-1)(x-2) = 0 \iff x = 1 \text{ ou } x = 2$

3. Fonctions paires et impaires

3.1 Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_f$ symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire : si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$).

$f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ : $\boxed{f(-x) = f(x)}$

$f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ : $\boxed{f(-x) = -f(x)}$

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3.2 Traduction géométrique

• Fonction paire → la courbe $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical)
• Fonction impaire → la courbe $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$

Exemples :

• $f(x) = x^2$ est paire : $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ → parabole symétrique / axe des ordonnées ✔️
• $g(x) = x^3$ est impaire : $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$ → courbe symétrique / origine ✔️
• $h(x) = x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire : $h(-x) = x^2 - x \neq h(x)$ et $\neq -h(x)$

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🎯 Intérêt pratique : pour une fonction paire ou impaire, il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$ puis de compléter par symétrie.

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4. Résolution d'équations et inéquations

4.1 Résoudre $f(x) = k$

Graphiquement : on trace la droite horizontale $y = k$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec $\mathcal{C}_f$.

Algébriquement : on résout l'équation $f(x) = k$.

Exemple : Résoudre $x^2 = 5$.

$x = \sqrt{5} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{5}$

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4.2 Résoudre $f(x) < k$

Graphiquement : on repère les zones où la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la droite $y = k$.

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4.3 Équation produit et quotient — Tableau de signes

Pour résoudre $A(x) \times B(x) = 0$ : on utilise la règle du produit nul → $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$.

Pour étudier le signe de $A(x) \times B(x)$ ou $\frac{A(x)}{B(x)}$, on utilise un tableau de signes.

Méthode :

1. Trouver les racines de $A(x)$ et de $B(x)$
2. Étudier le signe de chaque facteur séparément
3. Appliquer la règle des signes dans le tableau

Exemple résolu : Résoudre $(2x - 6)(-x + 4) \geqslant 0$.

1. Racines : $2x - 6 = 0 \iff x = 3$ et $-x + 4 = 0 \iff x = 4$.
2. Tableau de signes :

Ensemble des solutions : $S = [3\,;\,4]$.

Exemple résolu : Résoudre $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$.

Racines : $x + 1 = 0 \iff x = -1$ et $x - 2 = 0 \iff x = 2$ (valeur interdite).

Ensemble des solutions : $S = ]-\infty\,;\,-1[ \cup ]2\,;\,+\infty[$.

($x = -1$ est exclu car on veut $> 0$ strictement, et $x = 2$ est interdit.)

5. Modéliser avec des fonctions

Les fonctions permettent de modéliser des situations concrètes issues des mathématiques ou d'autres disciplines.

Exemple : Un rectangle a un périmètre de $20$ cm. On appelle $x$ sa largeur ($0 < x < 10$). Exprimer son aire $A(x)$.

Longueur = $\frac{20 - 2x}{2} = 10 - x$. Donc $A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$.

$A$ est une fonction du second degré qu'on peut étudier pour trouver l'aire maximale.

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📌 À retenir

1. La courbe de $f$ est l'ensemble des points $(x\,;\,f(x))$ — c'est la courbe d'équation $y = f(x)$.
2. $A(a\,;\,b) \in \mathcal{C}_f \iff b = f(a)$.
3. Paire : $f(-x) = f(x)$ → symétrie / axe des ordonnées.
4. Impaire : $f(-x) = -f(x)$ → symétrie / origine.
5. Tableau de signes : outil fondamental pour résoudre les inéquations produit ou quotient.
6. La règle des signes : $(+)(+) = +$, $(-)(-)= +$, $(+)(-) = -$.