Savoir-faire quantitatifs et graphiques

Les sciences économiques et sociales raisonnent avec des données : un taux de chômage, une part de bacheliers, l'évolution du PIB, la répartition des revenus. Savoir calculer, lire et interpréter ces données est une compétence évaluée dans toutes les épreuves : « faire une phrase avec la donnée », « calculer le taux de variation », « lire le tableau ». Ce chapitre rassemble les outils du programme de première : proportions et pourcentages de répartition, taux de variation, coefficient multiplicateur et indices, moyennes, médiane, valeurs nominales et réelles, tableaux à double entrée, graphiques. Chaque outil est présenté avec sa formule, un exemple et la phrase type qui l'exprime.

1. Proportions et pourcentages de répartition

1.1 La proportion

Une proportion (ou part) mesure le poids d'une partie dans un ensemble :

$\text{proportion} = \dfrac{\text{partie}}{\text{ensemble}} \times 100 \quad (\text{en } \%)$

Exemple : en $2023$, la France compte $30{,}4$ millions d'actifs dont $2{,}3$ millions de chômeurs : $\dfrac{2{,}3}{30{,}4} \times 100 \approx 7{,}6\,\%$. Phrase : « En $2023$, en France, $7{,}6\,\%$ des actifs sont au chômage, selon l'Insee. »

La phrase de lecture indique toujours : le lieu, la date, la source, la population de référence (le dénominateur) et l'unité.

1.2 Le pourcentage de répartition

Quand on ventile un ensemble en catégories, les parts s'additionnent à $100\,\%$ : c'est un pourcentage de répartition. Exemple : répartition des actifs occupés par PCS en $2023$ : cadres $22\,\%$, professions intermédiaires $25\,\%$, employés $26\,\%$, ouvriers $19\,\%$, indépendants $8\,\%$ ; total $100\,\%$. Attention : « $22\,\%$ des actifs occupés sont cadres », et non « $22\,\%$ des cadres ».

Un point de pourcentage est l'écart entre deux pourcentages : si le chômage passe de $7{,}6$ à $8{,}6\,\%$, il augmente de $1$ point, ce qui représente une hausse de $13\,\%$ du nombre de chômeurs ($1/7{,}6$). Ne pas confondre points et pourcentages.

2. Mesurer une évolution

2.1 Le taux de variation

$\text{taux de variation} = \dfrac{V_{\text{arrivée}} - V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}} \times 100$

Exemple : PIB de la France $2\,300$ milliards en $2019$, $2\,800$ en $2023$ (en euros courants) : $\dfrac{2\,800 - 2\,300}{2\,300} \times 100 \approx +21{,}7\,\%$. Phrase : « Entre $2019$ et $2023$, le PIB de la France a augmenté de $21{,}7\,\%$. » Un taux négatif signifie une baisse.

2.2 Le coefficient multiplicateur

$\text{coefficient multiplicateur} = \dfrac{V_{\text{arrivée}}}{V_{\text{départ}}} = 1 + \dfrac{\text{taux de variation}}{100}$

$2\,800/2\,300 \approx 1{,}217$ : le PIB a été multiplié par $1{,}217$. Passer de l'un à l'autre : taux $= (\text{CM} - 1) \times 100$ ; un CM de $2$ correspond à $+100\,\%$, un CM de $0{,}8$ à $-20\,\%$.

2.3 Le taux de variation cumulé

Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients multiplicateurs, on n'additionne jamais les taux. Une hausse de $10\,\%$ puis de $20\,\%$ : $1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}32$, soit $+32\,\%$ (et non $30\,\%$). Une hausse de $50\,\%$ suivie d'une baisse de $50\,\%$ : $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$, soit $-25\,\%$. Sur $n$ années à taux constant $t$ : $\text{CM} = (1 + t)^n$ ; $2\,\%$ par an pendant $10$ ans donne $1{,}02^{10} \approx 1{,}219$, soit $+21{,}9\,\%$.

2.4 L'indice simple

Un indice exprime une série par rapport à une valeur de référence fixée à $100$ :

$\text{indice}_t = \dfrac{V_t}{V_{\text{base}}} \times 100$

Base $100$ en $2019$ : PIB $2023$ $= 2\,800/2\,300 \times 100 \approx 121{,}7$. Lecture : « le PIB a augmenté de $21{,}7\,\%$ entre $2019$ et $2023$ » ; l'indice − $100$ donne directement le taux de variation depuis la base. Les indices servent à comparer des séries d'unités différentes (prix, salaires, production) sur un même graphique. Attention : un indice ne donne pas le niveau ($121{,}7$ n'est pas un montant) et deux indices ne se comparent qu'à même base.

3. Moyennes et médiane

3.1 Moyenne simple et moyenne pondérée

La moyenne arithmétique simple est la somme des valeurs divisée par leur nombre. La moyenne pondérée affecte à chaque valeur un poids (effectif, coefficient) :

$\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$

Exemple : salaire moyen d'une entreprise de $10$ ouvriers à $1\,800$ €, $4$ techniciens à $2\,600$ € et $1$ cadre à $6\,000$ € : $\dfrac{10 \times 1\,800 + 4 \times 2\,600 + 6\,000}{15} = \dfrac{34\,400}{15} \approx 2\,293$ €. La moyenne simple des trois salaires ($3\,467$ €) serait fausse : il faut pondérer par les effectifs.

3.2 La médiane

La médiane partage une population ordonnée en deux moitiés : $50\,\%$ ont une valeur inférieure, $50\,\%$ supérieure. Dans l'exemple, le salaire médian est $1\,800$ € (le $8^e$ salarié sur $15$ est un ouvrier). La médiane est insensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne : le salaire du cadre tire la moyenne vers le haut. En France en $2023$, le salaire net mensuel moyen à temps plein est de $2\,730$ € et le salaire médian de $2\,180$ € : moyenne > médiane signale une distribution étirée vers le haut (quelques très hauts salaires). L'Insee mesure la pauvreté monétaire par rapport à la médiane (seuil à $60\,\%$ du niveau de vie médian).

3.3 Les indices synthétiques

Un indice synthétique résume plusieurs dimensions en un seul nombre : l'indice des prix à la consommation agrège les prix de milliers de produits pondérés par leur poids dans la consommation ; l'IDH (indice de développement humain) combine revenu, espérance de vie et éducation, entre $0$ et $1$. On les lit comme des indices (évolution, comparaison) en gardant à l'esprit qu'ils dépendent des pondérations choisies.

4. Valeur nominale et valeur réelle

Une grandeur en valeur nominale (ou en euros courants) est mesurée aux prix de l'année ; en valeur réelle (euros constants), elle est corrigée de l'inflation pour mesurer le pouvoir d'achat ou le volume.

$\text{indice en valeur réelle} = \dfrac{\text{indice en valeur nominale}}{\text{indice des prix}} \times 100$

Approximation pour des taux faibles : taux de croissance réel ≈ taux nominal − taux d'inflation. Un salaire qui augmente de $4\,\%$ avec $5\,\%$ d'inflation baisse en termes réels d'environ $1\,\%$ ; calcul exact : $1{,}04/1{,}05 \approx 0{,}990$, soit $-1\,\%$.

Application au taux d'intérêt : le taux d'intérêt réel ≈ taux nominal − inflation. Un livret à $3\,\%$ avec $5\,\%$ d'inflation rapporte un taux réel de $-2\,\%$ : l'épargnant perd du pouvoir d'achat ; un emprunteur à $3\,\%$ voit sa dette allégée par l'inflation. C'est pourquoi les banques centrales et les épargnants raisonnent en termes réels.

5. Lire un tableau à double entrée

Un tableau à double entrée croise deux variables (par exemple PCS et type de bac). Avant toute lecture, repérer : le titre, la source, l'unité, le sens des pourcentages (en ligne, en colonne ou par rapport au total). La ligne ou la colonne où les valeurs somment à $100$ indique la population de référence.

Exemple (répartition en ligne, en %) :

Lecture : « $74\,\%$ des enfants de cadres ont obtenu un bac général » (et non « $74\,\%$ des bacheliers généraux sont enfants de cadres », ce qui exigerait des pourcentages en colonne). Comparaison : écart de $47$ points ; les enfants de cadres ont $2{,}7$ fois plus souvent un bac général.

6. Représentations graphiques

Pour les fonctions du marché : la pente de la demande est négative (quantité qui baisse quand le prix monte), celle de l'offre positive ; une droite plus plate signifie une réaction plus forte au prix. Un déplacement le long de la courbe traduit une variation du prix ; un déplacement de la courbe traduit une variation d'un autre facteur (revenu, coûts, goûts, taxe). Le point d'intersection est l'équilibre ; une taxe par unité déplace l'offre vers le haut du montant de la taxe.

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Document : salaire net moyen mensuel en France, $2\,150$ € en $2013$ et $2\,730$ € en $2023$ ; indice des prix base $100$ en $2013$ : $122$ en $2023$. Répartition des salariés par PCS en $2023$ : cadres $21\,\%$ (salaire moyen $4\,500$ €), professions intermédiaires $26\,\%$ ($2\,600$ €), employés $28\,\%$ ($1\,900$ €), ouvriers $25\,\%$ ($1\,950$ €). a) Calculer le taux de variation du salaire nominal et le coefficient multiplicateur. b) Calculer l'indice du salaire nominal base $100$ en $2013$ puis l'indice du salaire réel. c) Conclure sur le pouvoir d'achat. d) Vérifier le salaire moyen de $2023$ par une moyenne pondérée. e) Sachant que le salaire médian est de $2\,180$ €, commenter.

Résolution.

a) $\dfrac{2\,730 - 2\,150}{2\,150} \times 100 \approx +27\,\%$ ; CM $\approx 1{,}27$.

b) Indice nominal : $127$. Indice réel : $127/122 \times 100 \approx 104{,}1$.

c) Le salaire réel a augmenté d'environ $4\,\%$ en dix ans : la hausse nominale de $27\,\%$ a été presque entièrement absorbée par l'inflation de $22\,\%$ ; approximation $27 - 22 = 5\,\%$, proche du calcul exact.

d) $0{,}21 \times 4\,500 + 0{,}26 \times 2\,600 + 0{,}28 \times 1\,900 + 0{,}25 \times 1\,950 = 945 + 676 + 532 + 487{,}5 \approx 2\,640$ € : proche de $2\,730$ (les arrondis et les catégories omises expliquent l'écart).

e) La médiane ($2\,180$ €) est inférieure à la moyenne ($2\,730$ €) : la moitié des salariés gagnent moins de $2\,180$ €, la moyenne est tirée vers le haut par les hauts salaires ; la médiane décrit mieux le salarié « typique ».

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🎯 Rédiger. Toujours : la formule en lettres, le calcul, le résultat avec son unité, puis la phrase de lecture (lieu, date, source, population, unité). Distinguer point et pourcentage, nominal et réel, moyenne et médiane, taux et coefficient.

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📌 À retenir

1. Proportion = partie / ensemble × 100 ; pourcentage de répartition (somme = 100) ; écart en points.
2. Taux de variation = (arrivée − départ) / départ × 100 ; coefficient multiplicateur = arrivée / départ ; évolutions successives : multiplier les CM ; indice = valeur / base × 100.
3. Moyenne pondérée par les effectifs ; médiane = valeur qui partage en deux, insensible aux extrêmes ; indices synthétiques (prix, IDH).
4. Réel = nominal corrigé des prix ; taux réel ≈ nominal − inflation (taux d'intérêt réel).
5. Tableau à double entrée : repérer le sens des pourcentages avant de lire ; graphiques : répartition, série chronologique, courbes d'offre, de demande et de coût (pente, déplacement).