Statistiques

Ce chapitre approfondit les outils statistiques vus en 4ème (moyenne, médiane, étendue) avec les effectifs cumulés, les quartiles, la boîte à moustaches et les histogrammes.

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1. Rappels : vocabulaire statistique

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2. La moyenne

Formule

$\bar{x} = \frac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \cdots + n_k \times x_k}{N}$

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, et on divise par l'effectif total.

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Exemple résolu

$N = 2 + 3 + 5 + 4 + 4 + 2 = 20$

$\bar{x} = \frac{2 \times 4 + 3 \times 5 + 5 \times 6 + 4 \times 7 + 4 \times 8 + 2 \times 9}{20} = \frac{8 + 15 + 30 + 28 + 32 + 18}{20} = \frac{131}{20} = 6{,}55$

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3. Effectifs cumulés croissants

3.1 Définition

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme de son effectif et de tous les effectifs des valeurs inférieures. On « empile » les effectifs du plus petit au plus grand.

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3.2 Exemple (suite du tableau précédent)

Comment on calcule :

$2 \xrightarrow{+3} 5 \xrightarrow{+5} 10 \xrightarrow{+4} 14 \xrightarrow{+4} 18 \xrightarrow{+2} 20$

Comment on lit :

• $10$ élèves ont obtenu $6$ ou moins.
• $18$ élèves ont obtenu $8$ ou moins.
• Le dernier effectif cumulé est toujours égal à $N$ (ici $20$) → c'est un bon moyen de vérifier.

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4. La médiane

4.1 Définition

La médiane $M_e$ est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : $50\%$ des valeurs sont en dessous, $50\%$ au-dessus.

⚠️ La médiane n'est pas la moyenne ! La moyenne peut être tirée vers le haut ou le bas par des valeurs extrêmes, pas la médiane.

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4.2 Méthode

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4.3 Exemple résolu

Avec notre série de $N = 20$ élèves :

Étape 1 → $N = 20$ (pair). On cherche les valeurs de rang $\dfrac{20}{2} = 10$ et $\dfrac{20}{2} + 1 = 11$.

Étape 2 → D'après les effectifs cumulés :

• L'effectif cumulé atteint $10$ à la note $6$ → la $10^e$ valeur est $6$.
• L'effectif cumulé atteint $14$ à la note $7$ → la $11^e$ valeur est $7$.

Étape 3 →

$M_e = \frac{6 + 7}{2} = 6{,}5$

Interprétation : La moitié des élèves ont $6{,}5$ ou moins, l'autre moitié a $6{,}5$ ou plus.

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5. Les quartiles

5.1 Définition

Les quartiles découpent la série ordonnée en quatre groupes de même effectif (environ $25\%$ chacun).

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5.2 Exemple résolu (suite)

$N = 20$.

Premier quartile $Q_1$ : $\dfrac{N}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$. On cherche la plus petite valeur dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $5$. L'effectif cumulé atteint exactement $5$ à la note $5$ → $Q_1 = 5$.

Troisième quartile $Q_3$ : $\dfrac{3N}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$. On cherche la plus petite valeur dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $15$. L'effectif cumulé atteint $18$ (≥ $15$) à la note $8$ → $Q_3 = 8$.

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5.3 Écart interquartile

$\text{Écart interquartile} = Q_3 - Q_1$

C'est la dispersion des $50\%$ centraux de la série. Plus il est petit, plus la série est homogène (les résultats sont resserrés).

Ici : $Q_3 - Q_1 = 8 - 5 = 3$ points. Les $50\%$ centraux s'étalent sur $3$ points de note.

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6. La boîte à moustaches

6.1 Définition

La boîte à moustaches (ou diagramme en boîte) résume une série avec 5 valeurs :

$\text{Minimum} \quad — \quad Q_1 \quad — \quad M_e \quad — \quad Q_3 \quad — \quad \text{Maximum}$

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6.2 Construction avec notre exemple

Les 5 valeurs : $\text{Min} = 4$, $Q_1 = 5$, $M_e = 6{,}5$, $Q_3 = 8$, $\text{Max} = 9$.

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6.3 Lecture et interprétation

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6.4 Comparer deux séries

On place deux boîtes sur le même axe pour comparer visuellement :

• Quelle série a la médiane la plus haute ? (niveau central)
• Quelle série a la boîte la plus courte ? (homogénéité)
• Quelle série a les moustaches les plus longues ? (valeurs extrêmes)

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7. L'histogramme

7.1 Différence avec le diagramme en barres

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7.2 Exemple

On mesure la taille de $30$ élèves et on regroupe les résultats en classes :

Pour construire l'histogramme :

• L'axe horizontal représente les classes (les intervalles).
• L'axe vertical représente les effectifs (ou les fréquences).
• Les rectangles sont jointifs (pas d'espace entre eux) car les classes se suivent sans trou.
• Toutes les classes ont la même amplitude ($10$ cm), donc la hauteur est directement proportionnelle à l'effectif.

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8. Le tableur

Un tableur (LibreOffice Calc, Excel, Google Sheets) permet de calculer rapidement les indicateurs statistiques.

💡 On entre les données brutes dans une colonne, puis on tape la formule dans une cellule libre.

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9. Interpréter des données statistiques

Interpréter, c'est donner du sens aux nombres dans leur contexte.

Exemple d'interprétation complète

Avec notre série de notes :

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Questions types au brevet

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📌 À retenir

1. Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i \times x_i}{N}$ — sensible aux valeurs extrêmes.

2. Médiane : partage la série en deux moitiés égales — pas sensible aux valeurs extrêmes. Si $N$ pair : demi-somme des deux valeurs centrales.

3. Effectifs cumulés croissants : on additionne les effectifs du plus petit au plus grand. Le dernier vaut $N$.

4. Quartiles : $Q_1$ → $25\%$ des valeurs en dessous ; $Q_3$ → $75\%$ en dessous. Écart interquartile $= Q_3 - Q_1$ (dispersion des $50\%$ centraux).

5. Boîte à moustaches : $5$ valeurs (Min, $Q_1$, $M_e$, $Q_3$, Max). La boîte contient $50\%$ des valeurs. Sert à comparer deux séries.

6. Histogramme : rectangles jointifs pour des données en classes. L'aire est proportionnelle à l'effectif.

7. Toujours interpréter les résultats dans le contexte de l'énoncé.