📊 Statistiques — 4ème

1. Vocabulaire de base

Une série statistique est un ensemble de valeurs collectées lors d'une étude. Chaque valeur peut apparaître plusieurs fois : le nombre de fois qu'elle apparaît s'appelle son effectif. L'effectif total est le nombre total de données.

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2. La moyenne pondérée

Définition

La moyenne pondérée d'une série est la somme de chaque valeur multipliée par son effectif, divisée par l'effectif total :

$\text{Moyenne} = \frac{v_1 \times n_1 + v_2 \times n_2 + \cdots + v_k \times n_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}$

où $v_i$ sont les valeurs et $n_i$ les effectifs correspondants. On dit « pondérée » car chaque valeur a un poids (son effectif).

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Exemple résolu pas à pas

On a relevé les notes d'un contrôle dans une classe :

Étape 1 → Calculer chaque produit $v_i \times n_i$ : $8\times3=24$ ; $10\times5=50$ ; $12\times7=84$ ; $15\times4=60$ ; $18\times1=18$

Étape 2 → Additionner ces produits : $24+50+84+60+18 = 236$

Étape 3 → Calculer l'effectif total : $3+5+7+4+1 = 20$

Étape 4 → Diviser :

$\text{Moyenne} = \frac{236}{20} = 11{,}8$

La moyenne de la classe est $11{,}8$.

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3. La médiane

Définition

La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : la moitié des valeurs est inférieure ou égale à la médiane, l'autre moitié est supérieure ou égale.

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Méthode de détermination

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📊 Processus pour trouver la médiane

1️⃣ Ranger les valeurs dans l'ordre croissant ⟶ 2️⃣ Compter l'effectif total $N$ ⟶ 3️⃣ Si $N$ est impair → la médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$ ⟶ 3️⃣ Si $N$ est pair → la médiane est la demi-somme des valeurs de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$

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Exemple

Série ordonnée de 7 valeurs : $4 \;;\; 6 \;;\; 7 \;;\; 9 \;;\; 12 \;;\; 14 \;;\; 20$

$N = 7$ (impair), donc rang = $\frac{7+1}{2} = 4$. La 4ᵉ valeur est $9$.

→ Médiane = $9$. Cela signifie qu'au moins la moitié des valeurs est $\leq 9$ et l'autre moitié $\geq 9$.

Si on ajoute la valeur $22$ : série de $N=8$ valeurs (pair). On prend les rangs $\frac{8}{2}=4$ et $5$ → valeurs $9$ et $12$ → médiane $= \frac{9+12}{2} = 10{,}5$.

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4. L'étendue

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

$\text{Étendue} = \text{valeur max} - \text{valeur min}$

Dans l'exemple ci-dessus ($4;6;7;9;12;14;20$) : étendue $= 20 - 4 = 16$.

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5. Influence d'une valeur extrême

Une valeur extrême est une valeur très éloignée des autres (très grande ou très petite).

• La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes : ajouter une valeur très élevée fait augmenter nettement la moyenne.
• La médiane est peu sensible : elle peut rester identique ou bouger très légèrement.

Exemple concret

Série : $5 \;;\; 6 \;;\; 7 \;;\; 8 \;;\; 9$ → Moyenne $= 7$, Médiane $= 7$.

On ajoute la valeur extrême $100$ → nouvelle série : $5;6;7;8;9;100$.

$\text{Nouvelle moyenne} = \frac{5+6+7+8+9+100}{6} = \frac{135}{6} = 22{,}5$

Nouvelle médiane (rangs 3 et 4) $= \frac{7+8}{2} = 7{,}5$.

→ La moyenne a bondi de $7$ à $22{,}5$ (+15,5) tandis que la médiane n'a bougé que de $7$ à $7{,}5$ (+0,5). C'est pourquoi la médiane est souvent plus représentative quand il y a des valeurs extrêmes.

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6. Comparer deux séries statistiques

Pour comparer deux séries (deux classes, deux équipes…), on utilise conjointement :

• La moyenne ou la médiane → pour comparer le niveau central (les performances globales)
• L'étendue → pour comparer la régularité (dispersion)

Exemple

→ Les moyennes sont proches, mais la classe A est plus homogène (étendue plus petite) : les notes sont plus resserrées. La classe B est plus dispersée.

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7. Utiliser le tableur 🖥️

Un tableur (type LibreOffice Calc) permet de calculer rapidement :

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📌 À retenir

1. Moyenne pondérée : $\displaystyle\frac{\sum v_i \times n_i}{\sum n_i}$ — chaque valeur est multipliée par son effectif.
2. Médiane : valeur qui sépare la série ordonnée en deux moitiés égales (rang $\frac{N+1}{2}$ si $N$ impair).
3. Étendue $=$ valeur max $-$ valeur min → mesure la dispersion.
4. Une valeur extrême modifie fortement la moyenne mais très peu la médiane.
5. Pour comparer deux séries, on utilise moyenne (ou médiane) et étendue ensemble.